Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

X = x 1 · · · x N der Länge N wird verschlüsselt zu
E(k, X ) = rot k1 (x 1 ) · · · rot ks (x s )rot k1 (x s+1 ) · · · rot ks (x 2s ) · · · ,
d.h. auf jeden der Buchstaben wird eine der Shiftabbildungen angewendet, und
zwar wird der n-ten Buchstabe x n mit rot kr verschlüsselt, wenn r der Rest der
Division n ÷ s ist.
Beispiel: Um zukünftig mit der Vigenère-Chiffre kommunizieren zu können, haben
Alice und Bob bei einem persönlichen Treffen den Schlüssel k = (1, 2, 25) (also
Schlüssellänge s = 3) vereinbart. Bob möchte nun die Phrase “HALLOALICE”
verschlüsseln. Dazu schreibt er wiederholt den Schlüsselvektor unter den Klartext
und verschiebt dann jeden Buchstaben des Klartextes um so viele Positionen
im Alphabet, wie es die darunterstehende Zahl vorgibt:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Klartext H A L L O A L I C E
⊕ Schlüssel 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1
Geheimtext I C K M Q Z M K B F
Der Geheimtext ist also E(k, HALLOALICE) = ICKMQZMKBF .
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Die Entschlüsselungs-Abbildung der Vigenère-Chiffre ist durch
D(k, Y) = rot −k1 (y 1 ) · · · rot −ks (y s )rot −k1 (y s+1 ) · · · rot −ks (y 2s ) · · ·
(Y = (y 1 , y 2 , · · ·) ein Geheimtext) definiert. Offenbar gilt dann D(k, E(k, X )) =
X für alle X ∈ A ∗ und alle k ∈ K, d.h. (P, C, K, E, D) ist in der Tat ein Private-
Key-System
Beispiel: Wenn Alice eines Tages die Nachricht “NCW LQLNV IF V Y U” von
Bob erhält, dann berechnet sie D(k, Y) nach dem Muster
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Geheimtext N C W L Q L N V I F V Y U
⊖ Schlüssel 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1
Klartext M A X K O M M T J E T Z T
und weiß Bescheid.
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Der Schlüsselraum der s-Vigenère-Chiffre hat |K| = 26 s Elemente. Es handelt
sich also um einen log 2 (26 s ) = 4.7s-Bit Schlüssel. Für s = 20 sind das 94 Bit,
und das ist recht viel. Zum Vergleich: DES hat einen 56-Bit Schlüssel 6 und
galt bis in die 90er Jahre als sicher. Die Größe des Schlüsselraumes ist aber
nur eine der sicherheitsrelevanten Merkmale eines Verschlüsselungsalgorithmus,
das angibt, wie lange ein Brute-Force-Angriff, d.h. das gesamte Absuchen des
Schlüsselraumes dauern würde. Wir werden sehen, dass es wesentlich intelligentere
Angriffe auf die s-Vigenere-Chiffre gibt, zumindest wenn das Verhältnis
Textlänge zu Schlüssellänge klein ist.
Die Caesar-Chiffre ist die Vigenère-Chiffre zur Schlüssellänge 1 (d.h. der
Schlüssel hat nur 4.7 Bit!). Sie soll schon im alten Rom verwendet worden sein.
6 Es gibt Varianten mit 128 Bit.
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