Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

ereitgestellt. Dies ist wesentlich weniger Aufwand als das Erstellen der Potenzierungstafel
für g, denn diese hätte ord(g) = 10 7 Einträge. 6
□
Satz 4.3.1 Sei a ∈ 〈g〉 und l ein Primteiler von 7 N := ord(g). Gelte l i+1 | N.
Sei x ∈ {0, · · · , l i − 1}
Wenn die Kongruenz
Log(a) = x mod l i
(auch der Fall i = 0 und x = 0 ist erlaubt!) gilt, dann gilt
Log g (a) = x + Log gl
((ag −x ) N/li+1 )l i mod l i+1 .
Beweis: Aus der Voraussetzung folgt Log(ag −x ) = 0 mod l i , also Log(ag −x ) =
ul i für ein geeignetes u. Daraus folgt ag −x = g uli , d.h
Log gl
((ag −x ) N/li+1 ) = Log gl
(g uN/l ) = Log gl
(g u l ) = u mod l.
Daraus folgt Log gl
((ag −x ) N/li+1 )+wl = u für ein geeignetes w. Schließlich ergibt
sich
Log g (a) = x + ul i = x + Log gl
((ag −x ) N/li+1 )l i + wl i+1 .
Wenn man diese Gleichung modulo l i+1 betrachtet, dann ergibt sich die Behauptung.
□.
Sei a ∈ 〈g〉. Es soll Log g (a) berechnet werden. Die Berechnung von Log gl
stellt
mit den in der Initialisierungsphase errechneten Tabellen kein Problem mehr
da. Sei l s die höchste in ord(g) aufgehende Potenz von l. Obiger Satz kann dann
offensichtlich dazu verwendet werden, von der trivialen Kongruenz
Log g (a) = 0 mod l 0
ausgehend in s Schritten ein x ∈ Z zu berechnen, derart daß die Kongruenz
Log g (a) = x mod l s (∗)
gilt. In jedem der s Teilschritte ist ein Wert von Log gl
aus der vorbereiteten
Tabelle auszulesen und in jedem Schritt fällt die Berechnung eines Ausdruckes
(ag −x ) ord(g)/li an (Square and Multiply!). Das geht schnell. Eine einzelne Kongruenz
(∗) legt die zu berechnende Größe Log g (a) nicht eindeutig fest; sie stellt
aber eine wichtige Teilinformation über die Zielgöße Log g (a) dar.
Algorithmus 4.3.2 Sei G eine endliche, zyklische Gruppe. Eingabe: a ∈ G,
g ∈ G.
Berechne die PFZ ord(g) = l s1
1 · · · lst t
l i ).
(mit paarweise verschiedenen Primzahlen
6 Erst in der 10 7 -ten Spalte käme [1] und ab da würde sich alles wiederholen!
7 Beachte: Wenn g ein Erzeuger von G ist, dann ist N = |G|.
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