Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

Beispiel: Wir wollen ggT(51, 33), also den Hauptidealerzeuger von (51, 33) Z
berechnen.
51 ÷ 33 = 1 Rest 18,
d.h. 51 = 1 · 33 + 18 (1)
33 ÷ 18 = 1 Rest 15,
d.h. 33 = 1 · 18 + 15 (2)
18 ÷ 15 = 1 Rest 3,
d.h. 18 = 1 · 15 + 3 (3)
15 ÷ 3 = 5 Rest 0,
d.h. 15 = 5 · 3 + 0 (4)
L
⇐
L
⇐
L
⇐
L
⇐
(51, 33) Z = (33, 18) Z
(33, 18) Z = (18, 15) Z
(18, 15) Z = (15, 3) Z
(15, 3) Z = (3, 0) Z
An den mit L gekennzeicheten Stellen wurde obiges Lemma 2.2.6 Teil a) verwendet.
Offenbar gilt (3, 0) Z = (3) Z . Die Idealgleichungen auf der rechten Seite
zeigen zusammengenommen, dass (51, 33) Z = (3, 0) Z = (3) Z gilt. Also ist
3 ∈ ggT (51, 33).
Will man eine Gleichung 51n + 33m = 3 finden, die es nach 2.2.4 ja geben muss,
so braucht man nur die Gleichungen (1)-(3) von unten beginnend ineinander
einzusetzen:
3 (3)
= 18−15 (2)
= 18−(33−18) = (−1)·33+2·18 (1)
= (−1)·33+2·(51−33) = (−3)·33+2·51.
Wer das Rechnen mit dem euklidischen Algorithmus gewohnt ist und die Darstellung
3 = (−3) · 33 + 2 · 51 nicht braucht, wird bei der Berechnung von
ggT(51, 33) wohl nur die folgende Kette von Idealgleichungen zu Papier bringen,
und die anfallenden Divisionen mit Rest im Kopf erledigen:
(51, 33) Z = (33, 18) Z = (18, 15) Z = (15, 3) Z = (3, 0) Z = (3) Z .
Aus algorithmischer Sicht ist obiges Vorgehen nicht ganz ideal, weil für das
Rückwärtseinsetzen alle Ergebnisse der anfänglichen Rechnung gespeichert werden
müssen. Der folgende Algorithmus vermeidet dieses Problem. Um ihn zu
verstehen, ist es günstig, folgendes durchzudenken: Zur Berechnung von n, m
mit 51n + 33m = 3 kann man mit Teil b) von Lemma 2.2.6 alternativ wie folgt
32