Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

(
Für zwei Zahlen a, b ∈ Z mit a = b mod p gilt
) ( )
:= zu setzen.
(
[a]
p
a
p
a
p
) (
=
b
p
)
; es hat also Sinn
Beispiel: Wir rechnen in F × 13 = {[1], [2], · · · , [12]}. Wir berechnen die Quadrate
in F × 13 . x [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
x 2 [1] [4] [9] [3] [12] [10] [10] [12] [3] [9] [4] [1]
Somit gilt F ×2
13
= {[1], [3], [4], [9], [10], [12]}. Für das Jacobi-Symbol ergibt sich:
x [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
( x
13)
+1 −1 +1 +1 −1 −1 −1 −1 +1 +1 −1 +1
Bemerkung 6.1.2 Sei p ≠ 2 eine Primzahl und g ∈ F × p eine Primitivwurzel.
( )
Dann gilt g
k
= (−1) k für alle k ∈ Z. (Mit anderen Worten: g k ist genau
p
dann ein Quadrat, wenn k gerade ist.)
Beweis: Nimm an, dass g k ∈ F ×2
p ein Quadrat ist. Dann gibt es ein b ∈ F × p mit
g k = b 2 . Da g Primitivwurzel ist, muss jedes Element von F × p eine Potenz von
g sein. Also existiert ein m ∈ Z mit b = g m (Es wird m = Log g (b) mod p − 1
gelten). Es folgt g k = g 2m und wegen ord(g) = p − 1 folgt k = 2m mod p − 1.
Da 2 | p − 1 gilt, folgt k = 2m = 0 mod 2.
Die umgekehrte Implikation ist trivial.
□
Man sieht, dass genau die Hälfte der Elemente von F × p Quadrate sind. Für
jedes Element a ∈ F × p gilt a = g Log g (a) und daraus folgt: Genau dann ist a ein
( )
Quadrat, wenn Log(a) = 0 mod 2 gilt. Man kann = (−1) log g (a) schreiben.
Ist a ein Quadrat in F × Logg (a)
p , so sind ±g 2 die beiden Lösungen der Gleichung
X 2 = a über F p .
a
p
Satz 6.1.3 Sei p ≠ 2 eine Primzahl.
( )
a
1. Sei a ∈ Z nicht durch p teilbar. Dann gilt
p
= a p−1
2 mod p. Beachte:
Da p ungerade ist, muß p−1 durch 2 teilbar sein. Dieses Teilergebnis wird
Satz von Euler genannt.
( ) ( ) ( )
2. Sei u, v ∈ F p . Dann gilt = . Insbesondere ist
ein Homomorphismus.
uv
p
F × p
u
p
v
p
( ) u
→ {±1}, u ↦→
p
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