Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

War II” genannt, weil er bei der Kryptoanalyse der Chiffriermaschine Enigma
eine wichtige Rolle spielt 19 .
Satz 1.4.3 Sei σ, η ∈ S(X). Die Permutationen σ und σ η haben die selbe Zyklenstruktur.
Beweis: Wir beweisen die Aussage nur in dem Sonderfall, dass σ = (x 1 , · · · , x s )
ein s-Zykel ist. Der allgemeine Fall folgt dann leicht mit obiger Bemerkung.
Wir behaupten, dass σ η = (η −1 (x 1 ), · · · , η −1 (x s )) gilt. In der Tat, für 1 ≤
i ≤ s − 1 gilt σ η (η −1 (x i )) = η −1 σηη −1 (x i ) = η −1 σ(x i ) = η −1 (x i+1 ). Analog
zeigt man σ η (η −1 (x s )) = η −1 (x 1 ). Für x ∈ X \ {η −1 (x 1 ), · · · , η −1 (x s )} gilt
η(x) ∈ X \ {x 1 , · · · , x s }. Daher σ η (x) = η −1 ση(x) = η −1 (η(x)) = x. □
Wir beenden diesen Abschnitt mit einem weiteren Kryptographieverfahren. Sei
A ein Alphabet. Das folgende Private-Key-Verfahren (P, C, K, E, D) wird monoalphabetische
Substitution genannt: P = C = A ∗ und der Schlüsselraum
K = S(A) ist die Menge aller Permutationen von A. Sei σ ∈ K. Die Verschlüsselung
eines Textes X = x 1 x 2 · · · über A mit dem Schlüssel σ geschieht, indem die
selbe Permutation σ der Reihe nach auf jedes Zeichen von X angewendet wird:
E(X , σ) = σ(x 1 )σ(x 2 ) · · ·
Entschlüsseln ist das selbe wie Verschlüsseln mit der Umkehrabbildung σ −1 des
Schlüssels: D(Y, σ) = E(Y, σ −1 ) für Y ∈ A ∗ .
Ich denke, man darf auf ein explizites Beispiel verzichten. Monoalphabetische
Substitutionen sind kryptologisch schwach. Man kann sie mit Häufigkeitsanalysen
angreifen.
1.5 Die Chiffriermaschine Enigma
Noch fertigstellen
Zeichnungen u. Bilder nachtragen
Die Chiffriermaschine Enigma (griechisch: Rätsel) wurde von dem deutschen
Elektroingenieur Arthur Scherbius (1878-1929) erfunden; das entsprechende Patent
wurde 1918 erteilt. Später wurden u.a. von Wilhelm Korn Verbesserungen
angebracht. Die Enigma war zunächst für den zivilen Gebrauch gedacht und
wurde (mit wenig Erfolg) kommerziell vermarktet. Bereits in den zwanziger
Jahren zeigten militärische Stellen Interesse und wenig später wurde die Enigma
vom Markt genommen und nur noch für militärische Zwecke genutzt. Während
des 2. Weltkrieges wurde nahezu die gesamte Kommunikation des deutschen Militärs
über die Enigma abgewickelt. Auch bei Polizei, Reichsbahn, Reichspost
19 Eigentlich braucht man ihn bereits, um die Grundeigenschaften der Enigma zu verstehen.
Ich denke, dieser Satz wird bereits im 19. Jahrhundert bekannt gewesen sein.
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