Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

N := l + l · random(B − b). (Dann ist N eine ≈ B-Bit-Zufallszahl, die N =
1 mod l erfüllt.)
p := stepnextprime(N, l). (Dann ist p eine ≈ B-Bit-Zufallszahl, die p = 1 mod l
erfüllt.)
repeat z := random, g := z p−1
l until g ≠ [1].
(Dann ist g ein Element der Ordnung l in F × p .
Ausgabe: (p, l, g).
5.2 Das Massey-Omura-Verschlüsselungsverfahren
Dieses Verschlüsselungsverfahren erinnert an das folgende Gedankenexperiment: 3
Man stelle sich ein Land vor, in dem keine vertrauenswürdigen Boten zur Verfügung
stehen. Wie kann ich vertrauliche Informationen von einer Dienststelle A zu einer
Dienststelle B bringen, ohne vorher Schlüssel für ein Private-Key-Verfahren 4
vereinbart zu haben? Dienststelle A packt die vertraulichen Unterlagen in eine
einbruchsichere Kiste, schießt diese mit einem Vorhängeschloß ab und schickt
diese zu B. Der Schlüssel verbleibt bei A. Dienststelle B kann die Kiste dann
natürlich nicht öffnen. Sie verschließen die Kiste stattdessen mit einem zweiten
Vorhängeschloß und schicken die doppelt verschlossene Kiste zurück zu A.
Der Schlüssel für das zweite Schloß verbleibt bei B. Dienstelle A wird nun ihr
Schloß entfernen und die nur noch einfach verschlossene Kiste ein drittes Mal
zu B schicken. Dienstelle B kann die Kiste nun öffnen und die Unterlagen entnehmen.
Der Bote hat aber nie die Kiste in unverschlossenem Zustand bei sich
gehabt.
Sei im folgenden (G, g) eine Einweggruppe 5 . Ein Paar (G, g) kann mit Algorithmus
5.1.1 erzeugt werden. Wir fordern aus Bequemlichkeit, daß G zyklisch sein
soll. Die Gruppe G sei öffentlich bekannt.
Sei U eine Menge von Usern (evtl. nur zwei). Jeder User X wählt nun eine Zahl
e X ∈ {2, · · · , |G|−1}, die teilerfremd zu |G| ist. Er berechnet d X ∈ {2, · · · , |G|−
1} mit e X d X = 1 mod |G|. User X hält sowohl e X als auch d X geheim.
Satz 5.2.1 Für m ∈ G gilt m e X d X
= m.
Beweis: Wegen e X d X = 1 mod |G| gibt es ein k mit e X d X = 1 + k|G|. Es folgt
m e X d X
= m 1+k|G| = m(m |G| ) k = m. Wir haben verwendet, daß m |G| = 1 nach
dem Satz von Fermat gilt.
□
3 Die Geschichte soll auf Diffie zurückgehen.
4 etwa Vernam
5 Für diese spezielle Anwendung braucht das Element g nicht einmal explizit bekannt sein.
73