Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

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und dies ist eine Menge der Mächtigkeit |〈x〉| = ord(x). Die Menge 〈x〉 ist sogar eine Untergruppe von G: Man sieht sofort, dass sie mutiplikativ abgeschlossen ist und 1 enthält. Sei k ∈ {0, · · · , ord(x) − 1}. Dann gilt x k · x ord(x)−k = x ord(x) = 1. Dies liefert die Existenz inverser Elemente. Beispiel: Wir rechnen in der 6-elementigen Gruppe F × 7 = (Z/7Z)× = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}. Wir berechnen die Potenzen einiger Elemente: k 0 1 2 3 4 5 6 [2] k [1] [2] [4] [1] [2] [4] [1] [3] k [1] [3] [2] [6] [4] [5] [1] [4] k [1] [4] [2] [1] [4] [2] [1] [5] k [1] [5] [4] [6] [2] [3] [1] [6] k [1] [6] [1] [6] [1] [6] [1] Man sieht nun z.B., daß 3 das kleinste k mit [2] k = [1] ist, d.h. ord([2]) = 3. Die Menge 〈[2]〉 besteht aus den Potenzen von [2], also aus den Elementen der ersten Zeile: 〈[2]〉 = {[1], [2], [4]}. So kann man ord(x) und 〈x〉 für jedes x ∈ F × 7 bestimmen: x ord(x) 〈x〉 [1] 1 {[1]} [2] 3 {[1], [2], [4]} [3] 6 {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} = F × 7 [4] 3 {[1], [2], [4]} [5] 6 {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} = F × 7 [6] 2 {[1], [6]} In obiger Tabelle ist jede vorkommende Elementordung ein Teiler von |F × 7 | = ϕ(7) = 6. Dies gilt allgemein: Satz 2.7.1 Sei G eine endliche, abelsche Gruppe. Für alle x ∈ G gilt ord(x) | |G|. Insbesondere gilt x |G| = 1 für alle x ∈ G. Beweis: Wir haben oben gesehen, daß |〈x〉| = ord(x) gilt und daß 〈x〉 eine Untergruppe von G ist. Nach 2.4.4 ist die Mächtigkeit einer jeden Untergruppe von G ein Teiler von |G|. Daraus folgt ord(x) | |G| und das impliziert x |G| = 1 für alle x ∈ G. □ Wer lieber mit der Relation − = − mod N als mit Restklassen arbeitet, wird folgende Fassung begrüßen: Folgerung 2.7.2 (Kleiner Satz von Fermat) Sei N ≥ 2. Für jede zu N teilerfremde Zahl a ∈ Z gilt a ϕ(N) = 1 mod NZ . 45
Beweis: Weil a zu N teilerfremd ist, gilt [a] ∈ (Z/NZ) × . Ferner gilt |(Z/NZ) × | = ϕ(N) nach Definition der Eulerschen ϕ-Funktion. Obiger Satz liefert [a] ϕ(N) = [1], d.h. a ϕ(N) = 1 mod N. □ Folgerung 2.7.3 Sei p eine Primzahl. Dann gilt a p = a mod pZ für alle a ∈ Z. Beweis: Nun gilt ϕ(p) = p − 1. Wenn a zu p teilerfremd ist, dann liefert 2.7.2, daß a p−1 = 1 mod pZ mithin a p = a mod pZ gilt. Wenn a nicht zu p teilerfremd ist, dann muß a = 0 mod pZ gelten und daraus folgt ebenfalls a p = a mod p.□ 46
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schickt. Oskar überlegt sich, was
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