Doktorarbeit_Mairoser.pdf - OPUS - Universität Augsburg

A.1. Reflektometrie
Mithilfe der Brechungsindizes lässt sich analog zur Optik mit sichtbaren Licht (Snellius’sches
Brechungsgesetz) der kritische Winkel für die Totalreflexion bestimmen (Abbildung
2.12 auf Seite 26): 3 n Luft cos θ = n cos θ ′ . (A.4)
Mit dem Brechungsindex von Luft n Luft = 1, θ ′ = 0 ◦ für Totalreflexion, der Näherung 4
cos θ ≈ 1 − 1 2 θ2 und den Gleichungen A.2 und A.3 ergeben sich für die kritischen
Winkel:
{√
2δ Röntgenstrahlung
θ c = √ 2(1 − n) =
√
λ
ρb
π
Neutronen.
(A.5)
Wie in Abbildung 2.12 auf Seite 26 ersichtlich ist, steht der Impulsübertrag q bei der
spekularen Reflexion senkrecht zur Probenoberfläche. q ergibt sich aus dem Einfallsbzw.
Streuwinkel θ und der Wellenlänge λ zu
q = 4π λ
sin θ.
(A.6)
Hiermit lassen sich aus den kritischen Winkeln die kritischen Impulsüberträge berechnen
zu 5
{
q c = 4π 4π
√
λ sinθ λ 2δ Röntgenstrahlung
c ≈
4 √ (A.7)
πρb Neutronen.
Für Einfallswinkel θ > θ c kann der Strahl teilweise in die Probe eindringen bzw.
wird nur teilweise reflektiert (Abbildung 2.12). Die Reflektivität kann analog zu den
Fresnel’schen Formel berechnet werden zu
θ − √ θ
R(θ) =
2 − θ 2 2
c
∣θ + √ . (A.8)
θ 2 − θc
2 ∣
Dieses Resultat gilt sowohl für Neutronen als auch für Röntgenstrahlen, wobei beim
Vorhandensein eines resonanten Anteils mit dem komplexen Brechungsindex gerechnet
werden muss [92, 101]. Für θ ≫ θ c kann die Reflektivität genähert werden zu
R(θ) ≈
q4 c
16q 4 .
(A.9)
3 Beim Snellius’schen Brechungsgesetz wird der Winkel zum Lot hin gemessen, während hier der
gegenüberliegende Winkel betrachtet wird. Daher ändern sich die trigonometrischen Funktionen
von Sinus zu Kosinus.
4 Die Reihenentwicklung der Kosinus-Funktion ist erlaubt, da sich der Brechungsindex nur wenig von
√
1 unterscheidet. Typische Werte für δ liegen in der Größenordnung von 10 −5 bzw. für λ
ρb
π
in der
Größenordnung von 10 −3 .
5 Es geht die Reihenentwicklung der Sinus-Funktion sin θ ≈ θ ein, die für kleine θ gültig ist. Analog
zu Fußnote 4 ist diese Näherung erlaubt, aufgrund der geringen Werte von θ c .
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