Messtechnische und rechnerische Ermittlung der ... - HAM-On-Air
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<strong>Messtechnische</strong> <strong>und</strong> <strong>rechnerische</strong> <strong>Ermittlung</strong> <strong>der</strong> Verluste in Antennensystemen<br />
Ist die ideale Leitung am Ende offen <strong>und</strong> am Eingang angepasst, dann än<strong>der</strong>n sich die zeitlichen Vorgänge<br />
geringfügig.<br />
Bei eingangsseitiger Anpassung läuft eine Spannungswelle Uo/2 mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung<br />
Leitungsende. Mit dem Reflexionsfaktor r = 1 wird eine gleichphasige Welle mit dem doppelten Wert ( 2 *<br />
Uo/2) zurücklaufen. Am Anfang <strong>der</strong> Leitung angekommen ist die Spannung identisch <strong>der</strong> Quellspannung, <strong>der</strong><br />
Strom wird Null <strong>und</strong> <strong>der</strong> Ladevorgang <strong>der</strong> Leitung ist abgeschlossen. Da während <strong>der</strong> Ladezeit ein<br />
Energiefluss in die Leitung stattgef<strong>und</strong>en hat, stellt sich die Frage wo diese Energie geblieben ist?<br />
Nehmen wir an, die Quellspannung sei Uo = 100 V. Der Innenwi<strong>der</strong>stand sei Ri = 50 . Die Leitung habe<br />
einen Wellenwi<strong>der</strong>stand von Zo = 50 <strong>und</strong> eine elektrische Länge von L = 30 m.<br />
Die Zeit für einen Durchlauf ist mit <strong>der</strong> Lichtgeschwindigkeit von v = 3 * 10 10 cm/s,<br />
gesamte Ladezeit 2 * = 0.2 s.<br />
= 0.1 s <strong>und</strong> die<br />
Der Anfangsstrom ist Io = Uo / (2 Zo) = 50 V / 50<br />
Die während <strong>der</strong> Ladezeit zugeführte Energie ist<br />
= 1A, <strong>der</strong> während <strong>der</strong> gesamten Ladezeit fließt.<br />
W = 50 V * 1 A * 0.2 s = 10<br />
Ws.<br />
Der Kapazitätsbelag eines verlustlosen Kabels berechnet sich aus <strong>der</strong> Lichtgeschwindigkeit <strong>und</strong> dem<br />
Wellenwi<strong>der</strong>stand Zo = 50 aus dem Zusammenhang<br />
C`= 1 / Zo * v o = 1 / ( 50<br />
* 3 10 10 cm/s ) = 66.66 pF /m.<br />
Das 30 m lange Koaxkabel hat also einen Kapazitätswert von C` = 66.66 pF/m * 30 m = 2000 pF.<br />
Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ist mit U als Spitzenspannungswert ( Umax = 2 * 50 V = 100 V)<br />
W = ½ C U 2 = ½ 2000 pF * (100 V) 2 = 10<br />
Ws<br />
Die zugeführte Energie steckt, wie erwartet im elektrischen Feld.<br />
Anmerkung:<br />
Kabel mit einem Wellenwi<strong>der</strong>stand von Zo = 50 werden in den Tabellen mit Kapazitätswerten von C`= 100 pF/m<br />
angegeben. Den Unterschied zu den oben berechneten Wert von C`= 66.66 pF/m macht <strong>der</strong> Verkürzungsfaktor vk = 2/3.<br />
Rechnet man mit 100 pF/m muss die geometrische Länge des Kabels zur Berechnung <strong>der</strong> Gesamtkapazität eingesetzt<br />
werden. Rechnet man mit C´= 66.66 pF/m gilt die längere, elektrische Länge <strong>der</strong> Leitung. Das Ergebnis ist natürlich das<br />
gleiche, denn C`= 100 pF/m * vk = 100 pF/m * 2/3 = 66.66 pF/m. Man muss sich nur für eine Rechenart entscheiden um<br />
das richtige Ergebnis zu bekommen. Gleiches gilt natürlich auch für den Induktivitätsbelag im nächsten<br />
Beispíel. Wir rechnen, wenn nicht an<strong>der</strong>s angegeben, immer mit <strong>der</strong> elektrischen Länge einer Leitung. Die mit dem<br />
Maßband abzumessende Länge ist dann immer um den Verkürzungsfaktor vk < 1 kürzer.<br />
Schließt man die Leitung am Ende kurz, dann wird mit dem Reflexionsfaktor r = - 1 die Spannung am Ende<br />
<strong>der</strong> Leitung mit umgekehrter Phase reflektiert <strong>und</strong> die Gesamtspannung Null. Der Strom verdoppelt sich auf 2<br />
A. Die negative Spannungswelle läuft zum Eingang <strong>der</strong> Leitung <strong>und</strong> addiert sich zur Gesamtspannung Null.<br />
Der Ladevorgang ist abgeschlossen. Die Energie, die in die Leitung geflossen ist wie<strong>der</strong> W = 10 Ws. Wo<br />
steckt die Energie?<br />
Der Induktivitätsbelag berechnet sich aus dem Wellenwi<strong>der</strong>stand von Zo = 50 <strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
Lichtgeschwindigkeit zu L`= 0.166 H/m (es gilt für die verlustlose Leitung L` = Zo / v o ). Die gesamte Leitung<br />
hat also eine Induktivität von Lges = 5 H.<br />
Die Energie des magnetischen Feldes ist mit I als Maximalwert des Stromes<br />
W = ½ L* I 2 = ½ 5 H * (2 A) 2 = 10<br />
Ws.<br />
Die zugeführte Energie ist also im magnetischen Feld gespeichert, wie es auch sein muss.<br />
Dr. Schau, DL3LH 94