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y
x'
y'
Abbildung 3.2: Veranschaulichung des Prinzips der Hauptkomponentenanalyse in 2 Dimensionen.
x
Im Folgenden wird, der Beschreibung in [Fukunaga 1972] folgend, dargestellt, wie das optimale
Basissystem ermittelt wird. Ein n-dimensionaler Zufallsvektor X läßt sich in einem orthonormalen
Basissystem Φ darstellen als
X =
n
∑
i=1
y i Φ i = ΦY
mit Φ = [Φ 1 ...Φ n ] und Y =[y 1 .....y n ] T . (3.12)
Die Komponenten von Y sind unter Verwendung der Orthogonalität von Φ dann gegeben als
y i = Φ T i
X, (3.13)
wobei Y als orthonormale Transformation des Vektors X ebenfalls einen Zufallsvektor darstellt.
X soll nun durch die Verwendung von m < n Komponenten von Y abgeschätzt werden. Die Komponenten,
die nicht angegeben werden, werden durch vorher festgelegte Konstanten ersetzt, so daß
sich
˜X(m)=
m
∑
i=1
y i Φ i +
ergibt.
Der Fehler in dieser Darstellung berechnet sich zu:
∆X(m)=X − ˜X(m)=X −
m
∑
i=1
y i Φ i −
n
∑
i=m+1
n
∑
i=m+1
b i Φ i (3.14)
b i Φ i =
n
∑ (y i − b i )Φ i . (3.15)
i=m+1
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