Download (1800Kb) - oops/ - Oldenburger Online-Publikations-Server

erechnet, und die Standardabweichung des Fehlers ist definiert als
stderror = σ(ε)=
√
1
N ∑ i
(ε i − ¯ε) 2 . (5.4)
Die Fehlermaße hängen über die Gleichung
rmse 2 = bias 2 + stderror 2 (5.5)
zusammen. Die Standardabweichung des Fehlers läßt sich weiter zerlegen in
stderror 2 = stdbias 2 + disp 2 , (5.6)
wobei der Standardbias als Differenz der Standardabweichungen der beiden betrachteten Zeitreihen
definiert ist:
stdbias = σ(ksat ∗ ) − σ(k∗ ground ). (5.7)
Die Dispersion ist mit der Kreuzkorrelation der beiden Zeitreihen durch folgende Beziehung verknüpft:
disp 2 = 2σ(ksat)σ(k ∗ ground ∗ ))(1 − korr). (5.8)
Insgesamt ergibt sich damit die gesamte Zerlegung des mittleren quadratischen Fehlers zu
rmse 2 = bias 2 + stdbias 2 + 2σ(ksat ∗ )σ(k∗ ground )(1 − korr). (5.9)
Die beiden ersten Terme dieser Gleichung geben an, inwieweit die charakteristischen statistischen
Werte der ersten und der zweiten Zeitreihe miteinander übereinstimmen. Durch den bias wird die
Abweichung der Mittelwerte voneinander angegeben (siehe Gleichung (5.3)), der stdbias (siehe
Gleichung (5.7)) gibt die Differenz der Standardabweichungen der beiden Zeitreihen an. Der letzte
Term in Gleichung (5.9), die Dispersion, beschreibt den statistischen Anteil des Fehlers. Dieser
Fehler bleibt bestehen, wenn die statistischen Mittelwerte der betrachteten Zeitreihen in Übereinstimmung
gebracht werden. Die Dispersion ist durch die Korrelation der Zeitreihen und die
Standardabweichungen der betrachteten Zeitreihen bestimmt (siehe Gleichung (5.8)). Bei gleicher
Korrelation der Zeitreihen ist die Dispersion umso größer, je mehr die beiden Zeitreihen um ihre
Mittelwerte variieren.
Durch die Korrelation zwischen Meßzeitreihe und Vorhersagezeitreihe ist bei vorgegebener Standardabweichung
der Meßzeitreihe die Qualität der Vorhersage bestimmt, die sich durch lineare
Umformung der Vorhersagezeitreihe bestenfalls erreichen läßt. Mittelwerte und Standardabweichung
der Vorhersagezeitreihe lassen sich durch lineare Regression an eine entsprechende Bodenzeitreihe
so anpassen, daß der stderror minimiert wird und der bias verschwindet. Dieses Verfahren
wird als Model Output Statistics (MOS) bezeichnet (siehe [Storch et al. 1999]). Mit der Ableitung
von Gleichung (5.9) nach σ(ksat) ∗ ergibt sich, daß bei positiver Korrelation das Minimum des
stderror bei
σ(ksat ∗ )=σ(k∗ ground )korr (5.10)
77