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Sowohl ˜X als auch ∆X sind dabei Zufallsvektoren. Als Maß für die Qualität der Abschätzung wird
der mittlere quadratische Fehler von ∆X angenommen:
¯ε 2 (m) = E{‖∆X(m)‖ 2 }
{ n∑
}
n
= E ∑ (y i − b i )(y j − b j )Φ T i Φ j
i=m+1 j=m+1
n
= ∑ E{(y i − b i ) 2 }, (3.16)
j=m+1
wobei E für den Erwartungswert der Zufallsgröße steht. Der Fehler hängt von der Wahl des Basissystems
und den konstanten Termen b i ab. Diese sollen nun so gewählt werden, daß ¯ε 2 (m)
minimiert wird. Bei vorgegebenem Basissystem Φ ergibt sich unter Verwendung von
∂
E{(y i − b i ) 2 } = −2[E{y i }−b i ]=0 (3.17)
∂b i
die optimale Wahl für b i zu
b i = E{y i } = Φ T i E{X}, (3.18)
d.h. die Komponenten von Y, die nicht angegeben sind, werden durch ihre Erwartungswerte ersetzt.
Mit Gleichung (3.16) folgt dann für den mittleren quadratischen Fehler:
¯ε 2 (m) =
=
n
∑
j=m+1
n
∑
j=m+1
E[y i − E{y i }) 2 ]
Φ T i E[(X − E{X})(X − E{X}) T ]Φ i
=
n
∑ Φ T i Σ x Φ i . (3.19)
j=m+1
Dabei ist Σ x = E[(X−E{X})(X−E{X}) T ] die Kovarianzmatrix von X.Esläßt sich zeigen (siehe
[Fukunaga 1972]), daß die optimale Basis aus den Eigenvektoren der Kovarianzmatrix besteht, die
Σ x Φ i = λ i Φ i (3.20)
erfüllen. Der minimale erwartete Fehler beträgt so
¯ε 2 n
(m)= ∑ λ i . (3.21)
j=m+1
Wird eine Komponente y i im Basissystem der Eigenvektoren durch den entsprechenden Erwartungswert
b i ersetzt, so erhöht sich der Fehler um λ i . Die Komponenten sollten demzufolge der
Größe der zugehörigen Eigenwerte entsprechend berücksichtigt werden. Werden die Basisvektoren
Φ i so angeordnet, daß
λ 1 > λ 2 > ...... > λ n > 0 (3.22)
gilt, erhält man die bestmögliche Repräsentation eines Zufallsvektors X mit nur m Komponenten,
wenn der Vektor durch die ersten m Komponenten im Basissystem der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix
dargestellt wird.
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