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wobei c 3 wieder eine Normalisierungskonstante ist und β eine Konstante, die Eigenschaften des
Vektorfeldes charakterisiert. U d ist definiert als
U d = ∑ || d(⃗x ⃗ i ) − d(⃗x ⃗ j )|| 2 , (4.13)
i, j∈N
wobei d(⃗x ⃗ i ) und d(⃗x ⃗ j ) benachbarte Vektoren sind. Ein Vektorfeld mit großen Unterschieden zwischen
benachbarten Vektoren hat somit eine hohe Energie, was gleichbedeutend mit einer geringen
Wahrscheinlichkeit ist.
Nachdem die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeitsverteilungen bestimmt sind, ergibt sich die
bedingte Wahrscheinlichkeit für ein Vektorfeld d, bei vorgegebenen Bildern n 0 und n 1 zu
P(D = d|n 0 ,n 1 )= 1 Z e−U , (4.14)
mit der Normalisierungskonstante Z und der Gesamtenergiefunktion
U = λ 1 U n + λ 2 U grad + λ 3 U d . (4.15)
Die Parameter λ 1 = 1/2σ 2 , λ 2 = 1/2σ 2 grad und λ 2 = 1/β gewichten die Beiträge der verschiedenen
Einzelenergien zu U. Das wahrscheinlichste Vektorfeld gemäß Beziehung 4.1 kann jetzt als
Minimum der Energiefunktion U bestimmt werden.
Monte Carlo Methode
Das Minimum der Energiefunktion wird mit einer Monte Carlo Methode ermittelt. Dazu wird
zunächst die Energiefunktion um einen ”
Temperaturfaktor“ 1 T erweitert:
P(D = d|n 0 ,n 1 )= 1 Z e−U/T . (4.16)
Um das Minimum der Energiefunktion zu erhalten, wird zunächst ein Vektorfeld zufällig initialisiert.
Anschließend werden die folgenden Schritte bis zur Konvergenz wiederholt:
• Zufällige Auswahl eines Vektors.
• Zufällige Veränderung des Vektors und Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den neuen
Vektor.
• Wenn
wird der neue Vektor akzeptiert.
P(D = d neu |n 0 ,n 1 ) ≥ P(D = d alt |n 0 ,n 1 ), (4.17)
1 Die Methode wird in Analogie zu einem chemischen Prozeß als simulated annealing“ bezeichnet, daher stammt
”
auch die Bezeichnung Temperaturfaktor.
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