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Bilder diskretisiert werden. Um die Annahme konstanter Pixelintensität von u auf n auszuweiten,
werden zunächst ”
versetzte Pixeldifferenzen“ definiert:
r( ⃗ d(⃗x i ),⃗x i )=n 1 (⃗x i + ⃗ d(⃗x i )) − n 0 (⃗x i ). (4.5)
Gleichung (4.3) läßt sich dann für die beobachteten Bilder n als unabhängiger Gauß’scher Zufallsprozeß
modellieren:
P(r) ≈ e −r2 /2σ 2 , (4.6)
i.e. die Wahrscheinlichkeit für kleine Differenzen zwischen n 1 (⃗x i + ⃗ d(⃗x i )) und n 0 (⃗x i ) ist groß. Für
ein Bild n 0 und ein festgelegtes Vektorfeld d ergibt sich mit den Gleichungen (4.5) und (4.6) dann
die bedingte Wahrscheinlichkeit für n 1 , wenn d auf n 0 angewendet wird:
P(n 1 = n 1 |d,n 0 )=c 1 e −U n/2σ 2 . (4.7)
Hierbei ist c 1 eine Normalisierungskonstante und die Energie U n ist definiert als
U n = ∑r( d(⃗x ⃗ i ),⃗x i ) 2 . (4.8)
i
Das Bild n 1 ist also eine wahrscheinliche Realisierung von n 1 , wenn die Differenzen zwischen
n 1 (⃗x i + d(⃗x ⃗ i )) und n 0 (⃗x i ) für alle betrachteten Gitterpunkte klein sind. Hierbei sei noch bemerkt,
daß nicht für alle Bildpunkte Vektoren berechnet werden, sondern ein Subgitter gewählt wird.
Für die Annahme konstanter Pixelgradienten läßt sich analog zu Gleichung (4.5)
r grad (⃗d(⃗x i ),⃗x i )=∇n 1 (⃗x i + ⃗d(⃗x i )) − ∇n 0 (⃗x i ) (4.9)
definieren. Unter Verwendung der gleichen Argumentation wie oben ergibt sich schließlich
mit der Normalisierungskonstante c 2 und
P(n 1 = n 1 |d,n 0 )=c 2 e −U n/2σ 2 −U grad /2σ 2 grad, (4.10)
U grad = ∑r grad ( d(⃗x ⃗ i ),⃗x i ) 2 . (4.11)
i
Für kleine Unterschiede zwischen n 1 (⃗x i + d(⃗x ⃗ i )) und n 0 (⃗x i ) bzw. zwischen ∇n 1 (⃗x i + d(⃗x ⃗ i )) und
∇n 0 (⃗x i ) für alle betrachteten Punkte sind die Energiefunktionen klein, und somit ist die Wahrscheinlichkeit
P(n 1 = n 1 |d,n 0 ) groß.
Zur Festlegung der Verteilungsfunktion für P(D = d|n 0 ) wird die zweite Grundannahme, die Glattheit
des Vektorfeldes, genutzt. Dabei geht man davon aus, daß ein einzelnes Bild wenig Information
zu der Wahrscheinlichkeit für ein Vektorfeld beiträgt, weshalb nur Eigenschaften des Vektorfeldes
selbst betrachtet werden. Die Glattheit des Vektorfelds ist dadurch charakterisiert, daß
sich benachbarte Vektoren in Länge und Richtung nur wenig unterscheiden. Unter Verwendung
wahrscheinlichkeitstheoretischer Annahmen ( [Konrad et al. 1992], führt dies zu
P(D = d|n 0 )=c 3 e −U d/β , (4.12)
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