Masterarbeit - Physikzentrum der RWTH Aachen

2.6. Elektronik
A f berechnen. Mit dieser lässt sich dann nach Abschnitt 2.6.5 Q n berechnen. Für
einen CR-RC-Shaper ist die Übertragungsfunktion
und ihr Betrag
A v =
1 1
1 − i ·
(2.55)
1 + iωτ
ωτ i d
|A| 2 =
(τ d + τ i ) 2 +
τ 2 d
( ) 2
. (2.56)
ωτ i τ d − 1 ω
Integration über das Rauschspektrum nach 2.6.5 liefert dann
Uno 2 = 1
( )
4kb T
τ
+ 2eI d + i 2 2
d
na
(2.57)
τ d + τ i
4C 2 d
+
R p
(
)
4k b T R s + e 2 τ d
na
τ i (τ d + τ i ) + A f
τ 2 d
τ 2 d + τ 2 i
ln
( τd
τ i
)
. (2.58)
Eine Ladung Q s im Verstärkereingang verursacht dort eine Spannung U s = Q s /C d ,
sodass das Pulsmaximum für die Ladung Q s mit Gl. 2.54 gerade
max U so (t) = U so (T p ) = Q s
· e −1 (2.59)
t
C d
ist. Einsetzen in S/N = U so (T p )/U no = Q s /Q n liefert für τ = τ i = τ d
Q s
Q n =
U so (T p ) U no = eC d U no (2.60)
⎡
⎤
Q 2 n = e2
8
(
2eI
⎢ d + 4k )
bT
+ i 2 na
R
⎣
p
} {{ }
≡i 2 n
(
·τ +
)
4k b T R s + e 2 na
} {{ }
≡e 2 n
·C2 d
τ
+ 4A f Cd
2 . (2.61)
⎥
⎦
Der linke Term steigt mit der Zeitkonstante τ, wobei der Vorfaktor i 2 n die Einheit
eines Stroms hat, der mittlere sinkt mit τ, wobei e 2 n die Einheit einer Spannung
hat, und der rechte Term ist konstant. Man sieht, dass die Detektorkapazität einen
großen Einfluss auf des Rauschen hat. Wie auf Abb. 2.9 zu sehen ist, gibt es für jede
Kombination der Parameter eine Zeitkonstante, die Q n minimiert. Für komplexere
Shaper lässt sich ebenfalls ein Ausdruck für Q n finden, wenn die Frequenzantwort
bekannt ist. Diese lässt sich per Fouriertransformation ermitteln. Nutzt man das
Parseval’sche Theorem
∫ ∞
0
|A(f)| 2 df =
∫ ∞
−∞
[F (t)] 2 dt, (2.62)
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