Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

8 Kapitel 2: Notationen und Grundlagen
den so genannten Scorevektor und
W (x, θ) = d2
log f(x, θ).
dθ2 Für eine Zufallsvariable X mit Dichte f(x, θ) wird der Erwartungswert als
∫
E θ X := xf(x, θ) dν(x)
eingeführt. Die Fisher-Informationsmatrix von X ist gegeben durch
Ein Schätzer ˆθ n , der die Bedingung
J(θ) = E θ [U(X, θ) · U(X, θ) T ].
L n (ˆθ n ) = sup L n (θ) (2.1)
θ∈Θ
erfüllt, heißt Maximum-Likelihood-Schätzer (ML-Schätzer). ˆθ n bezeichne in der gesamten Arbeit
stets den ML-Schätzer. Aufgrund der Monotonie des Logarithmus ist Bedingung (2.1)
äquivalent zu
l n (ˆθ n ) = sup l n (θ).
θ∈Θ
Weiter bezeichne ˆθ M n
den auf eine Menge M ⊆ Θ eingeschränkten ML-Schätzer, d.h.
ˆθ M n
= arg sup L n (θ). (2.2)
θ∈M
Für k unabhängige Stichproben X 1 , . . . , X k , wobei X i = (X i1 , . . . , X ini ) mit
X i1 , . . . , X ini
i.i.d.
∼ f i (x, θ i )
für i = 1, . . . , k, wird die Likelihoodfunktion definiert als
L n (θ) =
k∏ ∏n i
f i (X ij , θ i )
i=1 j=1
mit θ = (θ 1 , . . . , θ k ). Hierbei ist also die Gewichtung gewählt, dass alle Beobachtungen gleich
gewichtet werden. Es wären zum Beispiel auch unterschiedliche Gewichte für die jeweiligen
Stichproben möglich. Die Definitionen für die log-Likelihoodfunktion und den ML-Schätzer,
sowie für den eingeschränkten ML-Schätzer übertragen sich entsprechend.
Normen
‖·‖
‖·‖ 1
euklidische Norm auf R d
L 1 -Norm auf R d