Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

10 Kapitel 2: Notationen und Grundlagen
Somit bezeichnet o p (1) die Konvergenz gegen null in Wahrscheinlichkeit und O p (1) die stochastische
Beschränktheit einer Folge von Zufallsvariablen.
Impliziert X n = O(Y n ), dass X n = O(Z n ) gilt, so schreibt man
X n = O(Y n ) = O(Z n ).
O(·) kann durch o(·), O p (·) oder o p (·) ersetzt werden. Zum Beispiel ist X n = o p (Y n ) = O p (Y n )
stets gültig.
2.2 Modelle und Bedingungen
Modelle
Wird im Folgenden vom 1-Stichprobenfall gesprochen, liegt das 1-Stichprobenmodell zugrunde
und für den k-Stichprobenfall entsprechend das k-Stichprobenmodell.
1-Stichproben-Modell: Es sei (f(x, θ)) θ∈Θ
eine Familie von Wahrscheinlichkeitsdichten
bezüglich einem σ-endlichen Maß ν mit Θ ⊆ R d . X 1 , . . . , X n seien unabhängig, identisch
verteilte Zufallsvariablen mit Dichte f(x, θ (0) ).
k-Stichproben-Modell: Für i = 1, . . . , k sei (f i (x, θ i )) θi ∈Θ i
eine Familie von Wahrscheinlichkeitsdichten
bezüglich einem σ-endlichen Maß ν mit Θ i ⊆ R d . X 1 , . . . , X k seien unabhängige
Stichproben, wobei X i = (X i1 , . . . , X ini ) mit
X i1 , . . . , X ini
i.i.d.
∼ f i (x, θ (0)
i
).
Der gemeinsame Parameterraum ist gegeben durch
Θ = Θ 1 × . . . × Θ k ⊆ R kd .
Weiter bezeichne n = ∑ k
i=1 n i die Summe der Fallzahlen aus allen k Stichproben.
Bedingungen
Für die Dichte f(x, θ) bezüglich einem σ-endlichen Maß ν einer Zufallsvariablen und θ (0) ,
dem wahren Wert des Parameters θ, werden die Regularitätsbedingungen R definiert.
Bedingungen R: Es gelte:
(a) Der Parameterraum Θ ist offene Teilmenge des R d .
(b) Die dritten partiellen Ableitungen von f(x, θ) bezüglich θ existieren und sind stetig für
alle x. Es gilt
d m ∫
∫ d
m
dθ m f(x, θ) dν(x) = f(x, θ) dν(x)
dθm für m = 1, 2, 3.
(c) Es existiert eine Funktion K(x) mit E θ (0)|K(X)| < ∞, so dass die Norm von d/dθ W (x, θ)
gleichmäßig in einer Umgebung B θ (0) von θ (0) durch K(x) beschränkt ist.