Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

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unabhängigen Stichproben sind. Entscheidend ist hierbei, dass die Fallzahlen in den einzelnen
Stichproben nicht von gleicher Größe sein müssen.
Ein klassisches Resultat von Wilks (1938) zur Verteilung des Likelihood-Quotienten λ unter
der Hypothese ist das folgende. Wenn die Hypothese, dass der Parameter θ in einer
r-dimensionalen Hyperebene des d-dimensionalen Paramterraumes liegt, wahr ist, so gilt für
den Likelihood-Quotienten λ, dass −2 log λ asymptotisch χ 2 -verteilt mit d−r Freiheitsgraden.
Für viele wichtige Probleme sind die Hypothesen nicht vom obigen Typ. So wird in dieser
Arbeit die Verteilung des Likelihood-Quotienten auf dem Rand einer allgemeinen Hypothese
basiernd auf Chernoff (1954) bzw. der weiterführenden Arbeit von Self und Liang (1987)
untersucht. Zur Verteilung des Likelihood-Quotientens unter der Alternative wird nicht wie
üblich eine lokale Alternative (siehe zum Beispiel Feder (1968)), sondern eine feste Alternative
betrachtet, d.h. die Stichproben folgen unabhängig vom Stichprobenumfang einer zum festen
Parameter θ (0) gehörigen Verteilung.
In Kapitel 2 werden die in der Arbeit verwendeten Notationen, Modelle und Bedingungen
eingeführt und einige theoretische Grundlagen bereitgestellt. In Kapitel 3 werden, wie bereits
oben erwähnt, exemplarisch für zwei normalverteilte Stichproben exakte Nicht-Unterlegenheitstests
konstruiert und die Fallzahlplanung diskutiert.
Der Kernteil der Arbeit ist wie folgt aufgebaut: im Kapitel 4 werden theoretische Grundlagen
zur Asymptotik des Maximum-Likelihood-Schätzers (ML-Schätzers) gelegt. Diese umfassen
klassische Resultate zur asymptotischen Normalität des uneingeschränkten ML-Schätzers im
Ein- und im k-Stichprobenfall sowie die Konvergenz des auf die Hypothese H 0 eingeschränkten
ML-Schätzers.
In Kapitel 5 wird die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotientens λ auf dem Rand
der Hypothese H 0 untersucht. Dazu wird die Arbeit von Chernoff (1954) auf den k-Stichprobenfall
mit ungleichen Fallzahlen in den einzelnen Stichproben verallgemeinert. So wird für k unabhängige
Stichproben die asymptotische Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik auf
die asymptotische Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik unter einer normalverteilten
Zufallsvariablen zurückgeführt. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Fallzahlen der einzelnen
Stichproben asymptotisch von gleicher Ordnung sind und die Hypothese durch einen Kegel (in
der Arbeit: positiv homogene Menge) approximiert werden kann. Das Kapitel wird durch eine
Anwendung der Resultate auf den Zwei-Stichprobenfall mit einer Hypothese, die durch einen
Halbraum approximiert werden kann, abgeschlossen. In diesem Fall folgt die asymptotische
Verteilung von −2 log λ auf dem Rand der Hypothese einer 1 2 + 1 2 χ2 1 -Verteilung.
In Kapitel 6 wird die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotientens unter einer festen
Alternative θ 0 im k-Stichprobenfall untersucht. Hierbei wird gezeigt, dass der auf die Hypothese
H 0 eingeschränkte ML-Schätzer mit Rate √ n gegen den Parameterwert, der den Kullback-
Leibler-Abstand bzw. im k-Stichprobenfall den modifizierten Kullback-Leibler-Abstand zum
wahren Wert θ 0 minimiert, konvergiert. Hierauf basierend wird die asymptotische Normalität
des Logarithmus der Likelihood-Quotienten-Statistik unter fester Alternative hergeleitet. Die
gewonnenen Resultate werden exemplarisch auf den Nicht-Unterlegenheitstest unter zwei normalverteilten
Stichproben und der Mittelwertdifferenz als Diskrepanzmaß angewandt.