Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

5.1. Chernoff für den k-Stichprobenfall 43
Beweis von Theorem 5.1. Da der Likelihood-Quotient durch
λ n = sup θ∈Θ 0
L n (θ)
sup θ∈Θ L n (θ)
gegeben ist, sind der ML-Schätzer und der auf die Hypothese Θ 0 eingeschränkte ML-Schätzer
zu betrachten. Zunächst wird gezeigt, dass beide Schätzer folgende Eigenschaft aufweisen:
ˆθ n = J −1 A n + η(ˆθ n ) mit η(ˆθ n ) = O p (1/ √ n). (5.1)
Da nach Lemma 4.4 (i)
J −1 A n = O p (1/ √ n)
gilt, reicht es aus zu zeigen, dass ˆθ n ebenfalls ein O p (1/ √ n) ist, damit die Eigenschaft (5.1)
gegegeben ist. Dieses gilt nach Theorem 4.5 für den ML-Schätzer ˆθ n . Die Bedingung (iii)
der Voraussetzungen stellt sicher, dass der auf die Hypothese eingeschränkte Schätzer ˆθ Θ 0
P
konsistent ist, d.h. ˆθ Θ 0
n −→ 0. Folglich kann Theorem 4.6 für ˆθ Θ 0
n angewandt werden und man
erhält ˆθ Θ 0
n = O p (1/ √ n). Somit ist die Eigenschaft (5.1) für beide Schätzer gezeigt.
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird
à n =
eingeführt.
(
n 1 A (1) T
n 1
, . . . , n k A (k) T
n k
) T
und ˜Bn = diag
(
)
n 1 B n (1)
1
, . . . , n k B n (k)
k
Die Taylorentwicklung um den Nullpunkt (wahrer Wert des Parameters) liefert
l n (θ) = l n (0) +
k∑
i=1
n i A (i)
n i
θ i + 1 2
k∑
i=1
n i θ T i B (i)
n i
θ i +
k∑
‖ θ i ‖ 3 O p (n i ).
Wie schon in vorangegangenen Abschnitten erwähnt, sichert Punkt (c) der Regularitätsbedingungen
R die Form des Restgliedes. Wird vorausgesetzt, dass θ = O p (1/ √ n) ist, so ist das
Restglied ‖ θ i ‖ 3 O p (n i ) für alle i = 1, . . . , k ein O p (1/ √ n) und damit ein o p (1). Ein θ, das
Eigenschaft (5.1) aufweist, erfüllt die Voraussetzung θ = O p (1/ √ n). Dieses liefert
i=1
n
l n (θ) = l n (0) + ÃT nθ + 1 2 θT ˜Bn θ + o p (1).
Für θ, welches die Eigenschaft (5.1) erfüllt, kann an dieser Stelle θ durch J −1 A n + η(θ) mit
η(θ) = O p (1/ √ n) ersetzt werden und man erhält
l n (θ) = l n (0) + ÃT nJ −1 A n + ÃT nη(θ) + 1 2 (J −1 A n + η(θ)) T ˜Bn (J −1 A n + η(θ)) + o p (1)
= l n (0) + ÃT nJ −1 A n + ÃT nη(θ) + 1 2 ÃT nJ −1 B n J −1 A n
+ÃT nJ −1 B n η(θ) + 1 2 η(θ) ˜B n η(θ) + o p (1). (5.2)
Beachte hierbei, dass J −1 = diag (J1 −1 , . . . , J −1 ) und diag(n 1I d , . . . , n k I d ) kommutieren.
k