Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

32 Kapitel 4: Asymptotik des ML-Schätzers
wobei auch hier erneut die Form des Restgliedes durch Bedingung (c) begründet ist. Da
der ML-Schätzer den log-Likelihood in Θ maximiert und Θ offen ist, schließt man mit der
Differenzierbarkeit des log-Likelihoods, dass für den ML-Schätzer ˆθ n gilt
˙l n (ˆθ n ) = 0. (4.4)
Nach der starken Konsistenz liegt ˆθ n für ausreichend großes n fast sicher in B θ (0). Folglich ist
(4.3) anwendbar für ausreichend großes n mit θ = ˆθ n . (4.3) und (4.4) liefern zusammen
a.s.
− A n = +B n (ˆθ n − θ (0) )+ ‖ ˆθ n − θ (0) ‖ 2 O p (1). (4.5)
Aus B n −→ −J (Lemma 4.2) und der Existenz von J −1 folgt mit der Stetigkeit der Determinante,
dass auch Bn
−1 für ausreichend großes n existiert und (4.5) lässt sich schreiben
als
(
)
1 + Bn −1 (ˆθ n − θ (0) ) T O p (1) √n(ˆθn − θ (0) ) = − √ nBn −1 A n ,
was wiederum
√ n (ˆθn − θ (0) )(1 + o p (1)) = − √ n Bn
−1 A n
impliziert. Mit den Resultaten aus Lemma 4.2, √ D
a.s.
nA n −→ N (0, J) und −Bn −→ J, und
Slutsky’s Theorem (siehe A.3) ist die rechte Seite asymptotisch normalverteilt mit Erwartungswart
0 und Kovarianzmatrix J −1 . Beachte hierbei, dass das Invertieren einer Matrix
stetig ist. Somit gilt auch
√ n (ˆθn − θ (0) )
D −→ N (0, J −1 ).