Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

14 Kapitel 2: Notationen und Grundlagen
Lemma 2.7. Sei M ⊆ R d mit 0 ∈ M eine Menge, die durch die Menge C M ⊆ R d approximiert
wird, so gilt für eine positiv definite Matrix P ∈ R d×d und für (x n ) n∈N ⊆ R d mit x n → 0
inf (x n − θ) T P (x n − θ) = inf (x n − θ) T P (x n − θ) + o(‖ x n ‖ 2 ).
θ∈M θ∈C M
Beweis. Da P positiv definit ist, stellt ‖ x − θ ‖ P , definiert durch
‖ x − θ ‖ 2 P = (x − θ) T P (x − θ),
eine Norm auf dem R d dar. Da alle Normen auf einem endlich dimensionalen Vektorraum
äquivalent sind, kann für den Beweis ohne Einschränkung der Allgemeinheit angenommen
werden, dass P = I gilt, wobei I Identitätsmatrix ist. Sei (x n ) n∈N ⊆ R d Folge mit x n → 0.
Betrachtet wird die Projektion der Punkte x n auf die Menge M bzw. C M
θ M (x n ) := arg inf
θ∈M ‖ x n − θ ‖ 2 , (2.4)
θ CM (x n ) := arg inf
θ∈C M
‖ x n − θ ‖ 2 . (2.5)
Sei M der Abschluss von M, dann folgt aus der Stetigkeit von ‖ x n − θ ‖ 2 in θ, dass
inf ‖ x n − θ ‖ 2 = inf ‖ x n − θ ‖ 2
θ∈M θ∈M
für alle n ∈ N. Analoges gilt für die Menge C M . Deshalb kann ohne Einschränkung der
Allgemeinheit angenommen werden, dass M und C M abgeschlossen in R∪{±∞} sind. Folglich
sind θ M (x n ) und θ CM (x n ) für alle n ∈ N wohldefiniert.
Es ist 0 ∈ C M , da nach Definition 2.4 die Null Häufungspunkt von C M ist und C M als
abgeschlossen angenommen werden kann. Folglich gilt nach Definition (2.5) von θ CM (x n )
‖ x n ‖≥‖ x n − θ CM (x n ) ‖ (2.6)
und somit
‖ θ CM (x n ) ‖
‖ x n ‖
≤
‖ x n ‖ + ‖ x n − θ CM (x n ) ‖
‖ x n ‖
≤ 2. (2.7)
Aus (2.7) erhält man, dass
o(‖ θ CM (x n ) ‖) = o(‖ x n ‖) (2.8)
und
o(‖ θ CM (x n ) ‖ 2 ) = o(‖ x n ‖ 2 ) (2.9)
gilt.
Weiter gilt für eine beliebige Funktion L : R d → R d
inf
θ∈M
{
‖ L(θ) ‖ + ‖ L(θ) ‖
2 } = inf ‖ L(θ) ‖ + inf ‖ L(θ)
θ∈M θ∈M ‖2 .