Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

4.2. ML-Schätzer im k-Stichprobenfall 33
4.2 Asymptotische Normalität des ML-Schätzers
im k-Stichprobenfall
Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes werden nun auf den k-Stichprobenfall erweitert, wobei
hierbei entscheidend ist, dass die Fallzahlen in den einzelnen Stichproben unterschiedlich
seien können. Deshalb können die Stichproben nicht zu einer zusammengefasst und wie der
1-Stichprobenfall behandelt werden. Unter der Annahme F, dass die Fallzahlen asymptotisch
von gleicher Ordnung, lassen sich jedoch analoge Ergebnisse zur asymptotischen Normalität
des ML-Schätzers herleiten. Es wird sich zeigen, dass sich die Kovarianzmatrix der asymptotischen
Verteilung aus den Fisher-Informationsmatrizen der einzelnen Stichproben zusammensetzt,
mit Gewichtung entsprechend ihrer relativen asymptotischen Fallzahlen.
Es wird also der k-Stichprobenfall mit Regularitätsbedingungen R und Bedingung F betrachtet.
Analog zu (4.1) und (4.2) wird für jede Stichprobe i = 1, . . . , k
definiert. Es wird
A (i)
n i
(θ i ) = 1 ∑n i
U i (X ij , θ i ) = 1 ∑n i
( ) d
T
log f i (X ij , θ i ) , (4.6)
n i n
j=1
i dθ
j=1 i
B n (i)
i
(θ i ) = 1 ∑n i
W i (X ij , θ i ) = 1 ∑n i
d 2
log f i (X ij , θ i ) (4.7)
n i n i
A (i)
n i
j=1
dθ 2 j=1 i
= A (i)
n i
(θ (0)
i
) und B n (i)
i
= B n (i)
i
(θ (0)
i
)
gesetzt. Weiter sei J i die Fisher-Informationsmatrix der i-ten Stichprobe, ausgewertet an der
Stelle des wahren Parameters θ (0)
i
, d.h.
[
]
J i = E (0) θ
U i (X i1 , θ (0)
i
) · U i (X i1 , θ (0)
i
) T
i
mit
U i (x, θ) =
( ) d
T
log f i (x, θ) .
dθ i
Es wird mit n = (n 1 , . . . , n k )
A n =
(
A (1) n T
1
B n = diag
, . . . , A (k) T
n k
) T
,
(
)
B n (1)
1
, . . . , B n (k)
k
,
J = diag (J 1 , . . . , J k ) ,
C = diag (c 1 I d , . . . , c k I d )
gesetzt, wobei c i ∈ [0, 1] so, dass n i /n → c i für n → ∞ (siehe Bedingung F).