Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

4 Kaptitel 1: Einleitung
von Lokationsmaßen, wie dem Mittelwert oder dem Median von diskreten und stetigen Kriterien,
üblich. Folglich sind Diskrepanzmaße, wie Differenz der Mittelwerte, standardisierte
Differenz der Mittelwerte oder Quotient der Mittelwerte, geläufig. Bezeichne δ ein Diskrepanzmaß
so, dass δ > 0 im Fall von additiver Diskrepanz (z.B. Differenz der Mittelwerte)
und δ > 1 im Fall von multiplikativer Diskrepanz (z.B. Quotient der Mittelwerte) zur Unterlegenheit
von der Testtherapie gegenüber der Referenztherapie korrespondiert, dann ist die
Hypothese des Nicht-Unterlegenheitstests mit Nicht-Unterlegenheitsmarge ∆ gegeben durch
H 0 : δ ≥ ∆ vs. H 1 : δ < ∆ . (1.1)
Die Nicht-Unterlegenheitsmarge ∆ ist die negative Abweichung der Testtherapie gegenüber
der Referenztherapie, die aus klinischen Gesichtspunkten noch akzeptabel ist. Für die Differenz
und die standardisierte Differenz der Mittelwerte gilt für δ = 0 Gleichheit der beiden
Gruppen und folglich wird ∆ > 0 gewählt. Da für den Quotienten der Mittelwerte bei δ = 1
Gleichheit gilt, wird hier entsprechend ∆ > 1 gewählt. Es findet aktuell eine umfassende Diskussion
über die Spezifizierung der Nicht-Unterlegenheitsmarge statt. Eine allgemeine Regel
kann hier jedoch nicht formuliert werden. Die Marge hängt von klinischen Aspekten wie der
Indikation oder dem Kriterium ab und ist somit von entsprechenden Spezialisten oder anhand
früherer klinischer Studien zu bestimmen. Ein Überblick über die aktuelle Diskussion wird
zum Beispiel von Lange und Freitag (2005) gegeben. Die Fragestellung der Spezifizierung der
Nicht-Unterlegenheitsmarge soll hier jedoch nicht weiter verfolgt werden.
Wird die Spezifizierung des Testproblems als gegeben angenommen, umfasst der nächste
Schritt die Planung der Stichprobenumfänge in Test- und Referenzgruppe. Hierbei ist aus
ökonomischer Sicht eine Reduzierung des Gesamtstichprobenumfangs anzustreben. Dem entgegen
steht die Anforderung, den Fehler zweiter Art unter einem vorgegebenen Niveau zu
halten. Dafür müssen die Stichprobenumfänge so groß zu gewählt werden, dass eine vorgegebene
Power (1 − Fehler zweiter Art) erreicht wird. Es stellt sich die Frage, ob die Stichprobenaufteilung
in die beiden Gruppen Einfluss auf den benötigten Gesamtstichprobenumfang
nimmt. Wenn ja, welche Aufteilung führt zum minimal benötigten Gesamtstichprobenumfang?
Um eine Fallzahlplanung durchführen zu können, wird die Verteilung der Teststatistik
unter der Hypothese H 0 und unter der Alternative H 1 benötigt. In Kapitel 3 werden exemplarisch
für zwei normalverteilte Stichproben exakte Nicht-Unterlegenheitstests für die oben
erwähnten, geläufigen Dispkrepanzmaße konstruiert und die Fallzahlplanung diskutiert. Es
werden Fallzahlformeln zur Bestimmung der minimal benötigten Fallzahlen angegeben und
optimale Fallzahlaufteilungen auf die Stichproben berechnet.
Die präsentierten Fragestellungen zur Planung eines Nicht-Unterlegenheitstests stellen zusammen
mit der Tatsache, dass sich nicht bei allen Testproblemen Teststatistiken mit bekannten
Verteilungen unter der Hypothese H 0 und unter der Alternative H 1 finden lassen, die Motivation
für das Kernstück dieser Arbeit dar. Als Lösung hierzu wird der Likelihood-Quotienten-
Test betrachtet, der für parametrische Familien von Verteilungen eine Methode bereitstellt,
auf Parameterkonstellationen zu testen. Ziel ist es für allgemeine Hypothesenräume die asymptotische
Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik unter der Hypothese und der Alternative
zu berechnen und so die Konstruktion eines Testes sowie eine Fallzahlplanung zu
ermöglichen. Die Arbeit beschränkt sich nicht auf den Zwei-Stichprobenfall, sondern betrachtet
allgemeine Hypothesenräume, die Teilmengen eines gemeinsamen Parameterraumes von k