Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

52 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative
Grenzwert des restringierten ML-Schätzers
Im Folgendem ist zu diskutieren, welche Parameter θ ∗ die Bedingung (6.2) erfüllen können.
Ist die Bedingung B1 erfüllt, so wird
θ min = arg min
θ∈Θ 0
K(θ (0) , θ) (6.4)
als der Parameter in der Hypothese definiert, der den Kullback-Leibler Abstand zum wahren
Wert des Parameters θ (0) minimiert. Ist wird sich herausstellen, dass unter geeigneten Voraussetzungen,
welche im Wesentlichen die Eindeutigkeit von θ min umfassen, für θ ∗ nur θ min
in Frage kommt, um die Bedingung (6.2) zu erfüllen (siehe hierzu Korollar 6.5).
White (1982, Theorem 2.2) zeigt in seiner Arbeit, dass der restringierte ML-Schätzer ˆθ r n gegen
θ min aus (6.4) konvergiert. Der Beweis geht auf White (1981, Theorem 2.1) zurück. White
betrachtet in seiner Arbeit den ML-Schätzer über eine kompakte Menge. Die Einschränkung
auf eine kompakte Menge ist in Theorem 6.4 nicht nötig.
Theorem 6.4. Seien die Bedingungen R und B1 erfüllt und das Minimum min θ∈Θ K(θ (0) , θ)
bei θ min eindeutig. Dann gilt
a.s.
−→ θ min .
ˆθ r n
Beweis. Seien
und
so gilt
Q n (θ) = − 1 n l n(θ) = − 1 n
n∑
log f(X i , θ)
i=1
Q(θ) = −E θ (0) [log f(X 1 , θ)] ,
K(θ (0) , θ) = Q(θ) − Q(θ (0) ).
Folglich minimiert θ min = arg min θ∈Θ0 K(θ (0) , θ) ebenfalls Q(θ) eindeutig in Θ 0 .
Zunächst wird gezeigt, dass der restringierte ML-Schätzer ˆθ n r asymptotisch in einer präkompakten,
d.h. beschränkten Teilmenge von Θ 0 liegt. Wenn Θ 0 nicht schon beschränkt ist, wird
hierfür
g(x, r) = sup
θ∈Θ 0 : ‖θ‖≥r
f(x, θ)
betrachtet. Wald (1949, Lemma 3) zeigt, dass
Folglich kann ein r 0 so gewählt werden, dass
was äquivalent zu
lim E
r→∞
θ (0) [log g(X 1, r)] = −∞.
E θ (0) [log g(X 1 , r 0 )] < E θ (0) [log f(X 1 , θ min )] ,
E θ (0) [log g(X 1 , r 0 ) − log f(X 1 , θ min )] < 0