Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

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48 Kapitel 5: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Hypothese Beispiel 5.6. Betrachtet wird eine normalverteilte Zufallsvariable X ∼ N (θ (0) , Σ) mit θ (0) ∈ R 2 und bekannter Kovarianzmatrix Σ ∈ R 2×2 . Der Hypothesenraum Θ 0 sei ein Halbraum. θ (0) liege auf dem Rand der Hypothese und sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit mit null angenommen, θ (0) = (0, 0). Da Σ symmetrisch und positiv definit ist, existiert eine orthogonale Matrix Q und eine Diagonalmatrix V mit Es gilt und Σ −1/2 kann definiert werden als Σ = Q T V Q. Σ −1 = (Q T V Q) −1 = Q T V −1 Q Σ −1/2 = Q T V −1/2 Q. Nach Definition gilt Σ −1 = Σ −1/2 Σ −1/2 und Σ −1/2 ΣΣ −1/2 = I 2 . Weiter ist ˜Θ 0 := {Σ −1/2 θ : θ ∈ Θ 0 } wieder ein Halbraum, da Σ −1/2 = Q T V −1/2 Q eine lineare Abbildung mit vollem Rang definiert. Für die Likelihood-Quotienten-Statistik gilt nach Beispiel 2.2 −2 log λ = inf θ∈Θ 0 (X − θ) T Σ −1 (X − θ) = inf θ∈Θ 0 (X − θ) T Σ −1/2 Σ −1/2 (X − θ) = inf θ∈Θ 0 (Σ −1/2 X − Σ −1/2 θ) T (Σ −1/2 X − Σ −1/2 θ) = inf θ∈ ˜Θ 0 (Z − θ) T (Z − θ) mit Z = Σ −1/2 X ∼ N (0, I 2 ). Da ˜Θ 0 wieder ein Halbraum ist, folgt nach obigem Beispiel 5.5 −2 log λ ∼ 1 2 + 1 2 χ2 1. Beispiel 5.7. Es seien zwei unabhängige Stichproben X 11 , . . . , X 1n1 ∼ f 1 (x, θ (0) 1 ), θ(0) 1 ∈ R, und X 21 , . . . , X 2n2 ∼ f 2 (x, θ (0) 2 ), θ(0) 2 ∈ R, gegeben, die die Regularitätsbedingungen R erfüllen und sei Bedingung F erfüllt. Es wird θ (0) = (θ (0) ) gesetzt und der Hypothesenraum 1 , θ(0) 2 Θ 0 ⊆ R 2 soll in θ (0) durch einen Halbraum M 0 approximiert werden können. Weiter gilt ˆθ Θ P 0 n −→ θ (0) . Somit sind die Voraussetzungen von Theorem 5.1 erfüllt und man erhält −2 log λ n D −→ inf θ∈M 0 (Z − θ) T Σ −1 (Z − θ) mit Z ∼ N (θ (0) , Σ) und geeigneter Kovarianzmatrix Σ. Mit obigem Beispiel 5.7 folgt −2 log λ n D −→ 1 2 + 1 2 χ2 1.
Kapitel 6 Asymptotische Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik unter fester Alternative Betrachtet wird der Likelihood-Quotienten-Test von der Hypothese H 0 : θ ∈ Θ 0 gegen die Alternative H 1 : θ ∈ Θ 1 . Wie im vorangegangenen Kapitel wird angenommen, dass die Hypothese und die Alternative den Parameterraum in zwei disjunkte Mengen teilen. Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten soll in diesem Kapitel unter einer festen Alternative θ (0) ∈ Θ 1 untersucht werden. Wie in den obigen Abschnitten werden zum besseren Verständnis zunächst die Resultate des 1-Stichprobenfalls herausgearbeitet und diese dann auf den k-Stichprobenfall mit unterschiedlichen Fallzahlen in den einzelnen Stichproben verallgemeinert. In Theorem 6.2 (k-Stichprobenfall: Theorem 6.7) wird gezeigt, dass der log- Likelihood, genauer 1/ √ n log λ n , unter der Alternative θ (0) ∈ Θ 1 asymptotisch normalverteilt ist. Hierfür wird neben Regularitätsbedingungen vorausgesetzt, dass ein Punkt θ ∗ ∈ Θ 0 mit l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n) (6.1) existiert, wobei ˆθ r n der auf die Hypothese Θ 0 eingeschränkte ML-Schätzer ist. Diese Bedingung ist im Allgemeinen nicht leicht zu prüfen und es bedarf weiterer Diskussion, unter welchen Voraussetzungen sie erfüllt ist. Zunächst wird im Korollar 6.5 (k-Stichprobenfall: Korollar 6.9) herausgearbeitet, dass unter geeigneten Bedingungen nur der Punkt in der Hypothese, der den Kullback-Leibler Abstand zum wahren Wert des Parameters θ (0) minimiert, für θ ∗ in Frage kommt. Hierauf basierend werden am Ende des k-Stichprobenabschnitts in Korollar 6.12 Bedingungen angegeben, unter denen die Bedingung (6.1) erfüllt sind. 6.1 Asymptotik im 1-Stichprobenfall Betrachtet werden Zufallsvariablen, die die Regularitätsbedingungen R erfüllen. Definition 6.1. f 0 und f 1 seien Dichten bezüglich einem σ-endlichen Maß ν. Es wird f 0 ≪ f 1 geschrieben, wenn f 0 absolut stetig bezüglich f 1 ist. Dann ist der Kullback-Leibler Abstand 49
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