Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

54 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative
Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (siehe A.1) gilt Q n (θ ∗ ) = Q(θ ∗ )+o p (1). Somit
erhält man
Q n (ˆθ r n)
P
−→ Q(θ ∗ ). (6.6)
Mit dem Ergebnis aus Theorem 6.4, ˆθ n
r
Lemma (siehe A.6) erhält man mit
Q n (ˆθ r n)
Aufgrund der Eindeutigkeit des Minimums muss
a.s.
−→ θ min , und unter Anwendung von Amemiya’s
P
−→ Q(θ min ).
θ ∗
= θ min
gelten.
Im anschließenden Abschnitt zum k-Stichprobenfall werden Voraussetzungen aufgeführt, unter
denen die Bedingung (6.2)
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n)
aus Theorem 6.2 erfüllt ist, siehe Korollar 6.12.