Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

34 Kapitel 4: Asymptotik des ML-Schätzers
Lemma 4.4. Sei der k-Stichprobenfall mit Regularitätsbedingungen R und Bedindung F
gegeben, dann gilt
√ D
(i) nAn −→ N (0, C −1 J),
a.s.
(ii) B n −→ −J.
Beweis. Aus dem 1-Stichprobenfall, Lemma 4.2, erhält man für i = 1, . . . , k
√
ni A (i) D
n i −→ N (0, Ji ).
Hieraus schließt man mit dem Lemma von Slutzky (siehe A.3)
√ n A
(i)
n i
=
√ n
n i
√
ni A (i)
n i
D −→ N (0, c
−1
i
J i ). (4.8)
Nach dem Blockungslemma sind A (1)
n 1
, . . . , A (k)
n k
unabhängig, da die zugrunde liegenden Beobachtungen
unabhängig sind. Folglich erhält man mit (4.8)
√ D n An −→ N (0, C −1 J).
Damit ist Aussage (i) bewiesen. Die Aussage (ii) folgt mit dem Lemma von Slutzky direkt
aus dem 1-Stichprobenfall.
Theorem 4.5. Sei der k-Stichprobenfall mit Regularitätsbedingungen R und Bedindung F
gegeben, dann gilt
√ n (ˆθn − θ (0) ) −→ D N (0, (CJ) −1 ).
Beweis. Der Beweis verläuft analog zu dem Beweis von Lemma 4.4. Für den ML-Schätzer ˆθ n
der gemeinsamen Stichprobe gilt
ˆθ n = arg sup
θ∈Θ
k∏ ∏n i
f i (x ij , θ i ) =
i=1 j=1
k∏
i=1
arg sup
∏n i
θ i ∈Θ i j=1
f i (x ij , θ i )
und somit ˆθ n = (ˆθ 1, n , . . . , ˆθ k, n ), wobei ˆθ i, n der ML-Schätzer der einzelnen Stichprobe i ist.
Das heißt der ML-Schätzer der gemeinsamen Stichprobe setzt sich aus denen der einzelnen
Stichproben zusammen. Aus dem 1-Stichprobenfall, Lemma 4.2, erhält man für i = 1, . . . , k
√
ni (ˆθ i, n − θ (0)
i
) −→ D N (0, Ji −1 ).
Mit dem Lemma von Slutzky (siehe A.3) wird
√ n (ˆθi, n − θ (0)
i
) =
√ n
n i
√
ni (ˆθ i, n − θ (0)
i
) D
−→ N (0, c −1
i
J −1
i
) (4.9)
geschlossen. Nach dem Blockungslemma sind ˆθ 1, n1 , . . . , ˆθ k, nk unabhängig, da die zugrundeliegenden
Beobachtungen unabhängig sind. Folglich erhält man mit (4.9)
√ n (ˆθn − θ (0) ) −→ D N (0, (CJ) −1 ).