Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

Kapitel 5
Asymptotische Verteilung der
Likelihood-Quotienten-Statistik auf
dem Rand der Hypothese
In diesem Kapitel wird die asymptotische Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik auf
dem Rand der Hypothese im k-Stichprobenfall untersucht. Der Abschnitt ist in Anlehnung an
die Arbeit von Chernoff (1954), der den entsprechenden 1-Stichprobenfall behandelt, geschrieben
und stellt eine Verallgemeinerung auf den k-Stichprobenfall mit ungleichen Fallzahlen dar.
Chernoff betrachtet in seiner Arbeit die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten
im 1-Stichprobenfall, wenn der wahre Parameter auf dem Rand der Hypothese und der Alternative
liegt. Folgende Annahmen werden gestellt: Die Verteilung der Beobachtungen genügen
den Regularitätsbedingungen R, der auf die Hypothese eingeschränkte ML-Schätzer ist konsistent
und die Parameterräume der Hypothese und der Alternative können durch positiv
homogene Mengen approximiert werden, deren Eigenschaften später dargestellt werden. So
kann Chernoff zeigen, dass die Verteilung des Likelihood-Quotienten asymptotisch gleich der
des Likelihood-Quotienten, wenn diese auf einer Beobachtung einer normalverteilten Zufallsvariablen
mit Erwartungswert θ 0 und Kovarianzmatrix J(θ (0) ) −1 basiert, wobei die approximierenden
Mengen der Hypothese und der Alternative gegeneinander getestet werden. Im
Abschnitt 5.1 werden entsprechende Ergebnisse für den k-Stichprobenfall hergeleitet.
5.1 Asymptotische Verteilung nach Chernoff
für den k-Stichprobenfall
Es wird der k-Stichprobenfall mit Regularitätsbedingungen R und Bedingung F betrachtet.
Zur Vereinfachung und Lesbarkeit wird im Folgenden ohne Einschränkung der Allgemeinheit
angenommen, dass der wahre Wert des Parameters θ (0) = 0 ist. Dieses kann durch Umparametrisierung
mit θ ↦→ θ − θ (0) erreicht werden.
Betrachtet wird der Likelihood-Quotienten-Test von der Hypothese H 0 : θ ∈ Θ 0 gegen die
Alternative H 1 : θ ∈ Θ 1 . Wie im vorangegangenen Abschnitt wird angenommen, dass die
Hypothese und die Alternative den Parameterraum in zwei disjunkte Mengen teilen. Des
Weiteren soll die Hypothese wie auch der Parameterraum selbst durch eine positiv homogene
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