Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

24 Kapitel 3: Nicht-Unterlegenheitstests im 2-Stichprobenfall unter Normalverteilung
Sei nun ncp 1 > ncp 2 . Dann gilt
(
)
X ncp1
F m,ncp1 (x) = P (t m,ncp1 ≤ x) = P √Y/m ≤ x = P
= P
= P
(
X 0 + µ ncp1 √Y/m
(
X 0 + µ ncp2 √Y/m
+ µ ncp 2
− µ ncp2 √Y/m
≤ x
)
)
≤ x − µ ncp 1
− µ ncp2 √Y/m
(
)
X ncp2
= P √Y/m ≤ x − µ ncp 1
− µ ncp2 √Y/m
= P
(
)
t m,ncp2 ≤ x − µ ncp 1
− µ ncp2 √Y/m
(
X 0 + µ ncp1 √Y/m
≤ x
)
Da
gilt, kann man
µ ncp1 − µ ncp2 = C · (ncp 1 − ncp 2 ) > 0
F m,ncp1 (x) = P (t m,ncp2 ≤ x − Z)
schreiben mit einer Zufallsvariablen Z, die mit Wahrscheinlichkeit 1 echt größer als null ist
(Z > 0 f.s.). Mit der Isotonie der Verteilungsfunktion F m,ncp (x) in x erhält man dann
F m,ncp1 (x) = P (t m,ncp2 ≤ x − Z) < F m,ncp2 (x).
Testen des Quotienten δ mr
Die Power für T r mit vorgegebenen Fallzahlen n R und n T unter einer festgelegten Alternative
δ mr (< ∆) wird ähnlich wie oben bei T d berechnet nach
1 − β = P δmr (T r < (t nR +n T −2) α ) = F nR +n T −2,ncp r
((t nR +n T −2) α ) .
Im Gegensatz zur Differenz δ md ist die 1:1 Aufteilung n R = n T nicht mehr optimal, wenn der
Quotient δ mr als Abstandsmaß verwendet wird. Mit den oben genannten Argumenten muss
hier der Nichtzentralitätsparameter
ncp r =
δ mr − ∆
√
σ 1
µ T n R
+ ∆2
n T
minimiert werden um die Power zu maximieren. Somit muss
√
1/nR + ∆ 2 /n T
unter der Nebenbedingung n R + n T = N minimiert werden. Direkte Rechnung liefert n R =
n/(1 + ∆) und folglich n T = ∆n/(1 + ∆). Demnach ist in diesem Fall ein Fallzahlverhältnis
von ɛ = ∆ −1 optimal.