Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.2. Asymptotik im k-Stichprobenfall 57
erhält man
( )
√ 1 n
n log λ n + K(θ (0) , θ ∗ , c)
mit
= 1 √ n
= 1 √ n
= 1 √ n
= 1 √ n
=
=
=
k∑
i=1
k∑
i=1
k∑ ∑n i
i=1 j=1
k∑ ∑n i
i=1 j=1
k∑ ∑n i
i=1 j=1
k∑ ∑n i
i=1 j=1
√
ni
n
1
√
ni
[
log f(X ij, θ ∗ ]
)
f(X ij , θ (0) + √ n
)
[
log f(X ij, θ ∗ ]
)
f(X ij , θ (0) + √ n
)
[
log f(X ij, θ ∗ ]
)
f(X ij , θ (0) + √ 1
) n
= 1 √ n
[l n (θ ∗ ) − l n (θ (0) )] + √ nK(θ (0) , θ ∗ , c) + o p (1)
k∑
i=1
k∑
i=1
k∑
i=1
[
log f(X ij, θ ∗ )
f(X ij , θ (0) ) + K(θ(0) i
, θ ∗ i )
∑n i
j=1
√ [Z i,ni c i + o p (1/ √ ]
n)
k∑
[Z i,ni ( √ c i + o p (1))] + o p (1)
i=1
Z i,ni = 1 √
ni
c i K(θ (0)
i
, θ ∗ i ) + o p (1)
( ni
n + o p(1/ √ )
n) K(θ (0)
i
, θi ∗ ) + o p (1)
n i K(θ (0)
i
, θ ∗ i ) + o p (1)
]
+ o p (1)
[
log f(X ij, θ ∗ ]
)
f(X ij , θ (0) ) + K(θ(0) i
, θi ∗ )
∑n i
j=1
+ o p (1)
[
log f(X ij, θ ∗ ]
)
f(X ij , θ (0) )
+ o p (1)
D
−→ N (0, σ 2 i (θ (0)
i
, θ ∗ i )).
nach dem zentralen Grenzwert Satz (siehe A.2). Mit Z i,ni = O p (1) für i = 1, . . . , k erhält man
( )
√ 1 n
n log λ n + K(θ (0) , θ ∗ , c)
=
k∑
[ √ c i Z i,ni ] + o p (1).
Aufgrund der Unabhängigkeit der Stichproben X 1 , . . . , X k sind nach dem Blockungslemma
Z 1,n1 , . . . , Z k,nk ebenfalls unabhängig.
Sind X und Y unabhängig normalverteilt mit X ∼ N (µ x , σx) 2 und Y ∼ N (µ y , σy), 2 so gilt für
die Faltung X+Y , dass sie ebenfalls normalverteilt ist mit X+Y ∼ N (µ x +µ y , σx+σ 2 y). 2 Dieses
Resultat ist beispielsweise in Krengel (1988, S.141) zu finden. Somit erhält man zusammen
mit dem Lemma von Slutsky (siehe A.3)
( )
√ 1 n
n log λ n + K(θ (0) , θ ∗ D
, c) −→ N (0, σ 2 (θ (0) , θ ∗ , c)).
i=1
Die Bedingungen B3 und B4 sichern die Existenz von K(θ (0) , θ ∗ , c) und σ 2 (θ (0) , θ ∗ , c) und
somit auch die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes.