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74 (v) Wenn X n P P −→ X und (X n − Y n ) −→ 0 gilt, dann gilt (vi) Wenn X n ∈ R d , Y n ∈ R k , X n Y n P −→ X. P P −→ X und Y n −→ Y gilt, dann gilt (X n , Y n ) P −→ (X, Y ). (vii) Die Aussagen (iv)-(vi) sind ebenfalls für fast sichere Konvergenz gültig. Das heißt, überall wo −→ P in (iv)-(vi) auftaucht, ist es durch −→ a.s. zu ersetzen, damit die Aussagen gültig bleiben. Beweis. Siehe Ferguson (1996, Kapitel 6, Satz 6 und 6’). Theorem A.4 (Mickey’s Theorem). Q sei eine Funktion, die auf X×Θ definiert ist, wobei X ein euklidischer Raum und Θ kompakte Teilmenge eines euklidischen Raumes sind. Die Funktion Q(x, θ) sei in θ für alle x stetig und in x für alle θ messbar. Weiter sei h eine bezüglich einer auf X definierten Verteilungsfunktion F integrierbare Funktion mit |g(x, θ)| ≤ h(x) für alle x und θ. Dann gilt für X 1 , X 2 , . . . mit X i ∼ F , dass n∑ ∫ n −1 Q(X i , θ) −→ a.s. Q(x, θ) dF (x) gleichmäßig in θ ∈ Θ. i=1 Beweis. Siehe Jennrich (1969, Theorem 2). Theorem A.5 (White’s Lemma). Seien Q n Funktionen, die auf X × Θ definiert sind, wobei X ein euklidischer Raum und Θ kompakte Teilmenge eines euklidischen Raumes ist. Die Funktionen Q n (x, θ) seien in θ für alle x stetig und in x für alle θ messbar. Dann existieren messbare Funktionen ˆθ n (x) mit für alle x in X. Wenn Q n (x, ˆθ n (x)) = inf θ∈Θ Q n(x, θ) |Q n (x, θ) − ¯Q n (θ)| a.s. −→ 0 gleichmäßig für alle θ ∈ Θ gilt und ¯Q n (θ) eindeutiges Minimum bei θ 0 hat, dann gilt Beweis. Siehe White (1980, Lemma 2.2). ˆθ n a.s. −→ θ 0 . Theorem A.6 (Amemiya’s Lemma). Q n seien Funktionen, die auf X × Θ definiert sind, wobei X ein euklidischer Raum und Θ kompakte Teilmenge eines euklidischen Raumes sind. Die Funktionen Q n (x, θ) seien in θ für alle x stetig und in x für alle θ messbar. Wenn Q n (x, θ) a.s. −→ Q(θ) gleichmäßig für alle θ ∈ Θ gilt, dann gilt für ˆθ n (x) a.s. −→ θ 0 Beweis. Siehe Amemiya (1973, Lemma 4). Q n (x, ˆθ n (x)) a.s. −→ Q(θ 0 ).
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5 unabhängigen Stichproben sind. E
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Kapitel 2 Notationen und Grundlagen
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2.1. Notationen 9 Matrizen Für i =
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2.2. Modelle und Bedingungen 11 (d)
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2.4. Approximation zweier Mengen 13
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2.4. Approximation zweier Mengen 15
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18 Kapitel 3: Nicht-Unterlegenheits
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