Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

46 Kapitel 5: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Hypothese
Korollar 5.3. In Theorem 5.1 kann die Kovarianzmatrix CJ durch d · CJ mit beliebigem
d > 0 ersetzt werden.
Beweis. Wie in Theorem 5.1 gezeigt, ist die asymptotische Verteilung von −2 log λ n (x) durch
die Verteilung von
mit Z ∼ N (0, (CJ) −1 ) gegeben.
inf (Z − θ) T CJ (Z − θ) − inf (Z −
θ∈M 0 θ∈M θ)T CJ (Z − θ)
Da nun M und M 0 positiv homogene Mengen sind, gilt
inf (Z − θ) T CJ (Z − θ) − inf (Z −
θ∈M 0 θ∈M θ)T CJ (Z − θ)
1
= inf √d (Z − θ) T d · CJ 1
1
√ (Z − θ) − inf √ (Z − θ) T d · CJ √ 1 (Z − θ)
θ∈M 0 d θ∈M d d
= inf ( √ 1 Z − θ) T d · CJ ( √ 1 Z − θ) − inf ( √ 1 Z − θ) T d · CJ ( √ 1 Z − θ)
θ∈M 0 d d θ∈M d d
= inf
θ∈M 0
(Y − θ) T d · CJ (Y − θ) − inf
θ∈M (Y − θ)T d · CJ (Y − θ)
mit Y ∼ N (0, d −1 (CJ) −1 ).
Bemerkung 5.4 (Konsistenz mit Chernoff’s 1-Stichprobenfall). Betrachtet wird der
k-Stichprobenfall mit gleichen Fallzahlen in allen Stichproben, d.h. n i = n j für alle i, j =
1, . . . , k, dann können die Stichproben zu einer zusammengefasst und das Resultat von Chernoff
für den 1-Stichprobenfall angewandt werden. So erhält man, dass die Verteilung von
−2 log λ n (x) asymptotisch gleich der von −2 log λ n (x) ist für den Test von θ ∈ M 0 gegen
θ ∈ M\M 0 basierend auf einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und
Kovarianzmatrix J −1 . Wird hingegen Theorem 5.1 mit c i = 1/k für alle i = 1, , . . . , k angewandt,
erhält man statt der Kovarianzmatrix J −1 nun k · J −1 . Korollar 5.3 zeigt mit d = 1/k,
dass die Ergebnisse konsistent sind.
5.2 Beispiele
An einem einfachen Beispiel soll exemplarisch gezeigt werden, wie die Resultate von Theorem
5.1 genutzt werden können, um die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten unter
der Hypothese zu bestimmen. Im Beispiel 5.5 wird eine normalverteilte Zufallsvariable X ∼
N (θ (0) , I 2 ) mit θ (0) ∈ R 2 betrachtet (I 2 = 2 × 2 Identitätsmatrix). Der Hypothesenraum
Θ 0 ist ein Halbraum und θ (0) liegt auf dem Rand der Hypothese. Dann ist −2 log λ verteilt
nach 1/2 + 1/2χ 2 1 . Nach Beispiel 5.6 bleibt die Verteilung von −2 log λ unverändert, wenn
I 2 durch eine beliebige, aber bekannte Kovarianzmatrix Σ ersetzt wird. Entsprechend kann
dieses Ergebnis auf zwei unabhängige Stichproben übertragen werden, wenn die Bedingungen
von Theorem 5.1 erfüllt sind. −2 log λ ist dann asymptotisch verteilt nach 1/2 + 1/2χ 2 1 (siehe
Beispiel 5.7).