Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

48 Kapitel 5: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Hypothese
Beispiel 5.6. Betrachtet wird eine normalverteilte Zufallsvariable X ∼ N (θ (0) , Σ) mit θ (0) ∈ R 2
und bekannter Kovarianzmatrix Σ ∈ R 2×2 . Der Hypothesenraum Θ 0 sei ein Halbraum. θ (0)
liege auf dem Rand der Hypothese und sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit mit null angenommen,
θ (0) = (0, 0). Da Σ symmetrisch und positiv definit ist, existiert eine orthogonale
Matrix Q und eine Diagonalmatrix V mit
Es gilt
und Σ −1/2 kann definiert werden als
Σ = Q T V Q.
Σ −1 = (Q T V Q) −1 = Q T V −1 Q
Σ −1/2 = Q T V −1/2 Q.
Nach Definition gilt Σ −1 = Σ −1/2 Σ −1/2 und Σ −1/2 ΣΣ −1/2 = I 2 . Weiter ist
˜Θ 0 := {Σ −1/2 θ : θ ∈ Θ 0 }
wieder ein Halbraum, da Σ −1/2 = Q T V −1/2 Q eine lineare Abbildung mit vollem Rang definiert.
Für die Likelihood-Quotienten-Statistik gilt nach Beispiel 2.2
−2 log λ = inf
θ∈Θ 0
(X − θ) T Σ −1 (X − θ)
= inf
θ∈Θ 0
(X − θ) T Σ −1/2 Σ −1/2 (X − θ)
= inf
θ∈Θ 0
(Σ −1/2 X − Σ −1/2 θ) T (Σ −1/2 X − Σ −1/2 θ)
= inf
θ∈ ˜Θ 0
(Z − θ) T (Z − θ)
mit Z = Σ −1/2 X ∼ N (0, I 2 ). Da ˜Θ 0 wieder ein Halbraum ist, folgt nach obigem Beispiel 5.5
−2 log λ ∼ 1 2 + 1 2 χ2 1.
Beispiel 5.7. Es seien zwei unabhängige Stichproben X 11 , . . . , X 1n1 ∼ f 1 (x, θ (0)
1 ), θ(0) 1 ∈ R,
und X 21 , . . . , X 2n2 ∼ f 2 (x, θ (0)
2 ), θ(0) 2 ∈ R, gegeben, die die Regularitätsbedingungen R erfüllen
und sei Bedingung F erfüllt. Es wird θ (0) = (θ (0) ) gesetzt und der Hypothesenraum
1 , θ(0) 2
Θ 0 ⊆ R 2 soll in θ (0) durch einen Halbraum M 0 approximiert werden können. Weiter gilt
ˆθ Θ P
0
n −→ θ (0) . Somit sind die Voraussetzungen von Theorem 5.1 erfüllt und man erhält
−2 log λ n
D −→ inf
θ∈M 0
(Z − θ) T Σ −1 (Z − θ)
mit Z ∼ N (θ (0) , Σ) und geeigneter Kovarianzmatrix Σ. Mit obigem Beispiel 5.7 folgt
−2 log λ n
D −→
1
2 + 1 2 χ2 1.