Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

12 Kapitel 2: Notationen und Grundlagen
2.3 Likelihood-Quotienten-Prinzip
Das Likelihood-Quotienten-Prinzip stellt für parametrische Familien von Verteilungen eine
Methode bereit, um auf Parameterkonstellationen zu testen. Ein LQ-Test für unabhängig,
identisch verteilte Zufallsvariablen lässt sich wie folgt konstruieren. X 1 , . . . , X n seien unabhängige,
identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte f im stetigen Fall, bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion
f im diskreten Fall. Angenommen, f hängt vom Parameter θ ∈ R d
ab, dann ist die Likelihoodfunktion für feste Stichprobe x 1 , . . . , x n gegeben durch
L n (θ) =
n∏
f(x i , θ).
i=1
Es sei ein Testproblem H 0 : θ ∈ Θ 0 vs. H 1 : θ ∈ Θ 1 mit disjunkter Hypothese und Alternative
und Θ = Θ 0 ∪ Θ 1 angenommen, dann ist der Likelihood-Quotient gegeben durch
λ n = sup θ∈Θ 0
L n (θ)
sup θ∈Θ L n (θ) .
Im Folgenden wird λ = λ 1 verwendet. Wenn der unbekannte wahre Wert im Parameterraum
der Hypothese liegt, wird der Likelihood-Quotient für wachsendes n gegen 1 gehen,
sonst gegen 0. Somit kann der Likelihood-Quotient als konsistente Teststatistik für das oben
genannte Testproblem verwendet werden. In einigen Fällen kann die exakte Verteilung des
Likelihood-Quotienten unter der Hypothese bestimmt werden. In anderen Fällen bestimmt
man die asymptotische Verteilung von −2 log λ n . Hierbei ist die Approximation durch die
asymptotische Verteilung für kleine Stichproben zu überprüfen, ob diese zu zufrieden stellenden
Ergebnissen führen, d.h. das Niveau also eingehalten wird.
Das Likelihood-Quotienten-Prinzip überträgt sich in analoger Weise auf k unabhängige Stichproben.
Die Likelihoodfunktion ist dann das Produkt der Likelihoodfunktionen der einzelnen
Stichproben und der Hypothesenraum ist Teilmenge des gemeinsamen Parameterraumes.
Beispiel 2.2 (Normalverteilung). Seien die Beobachtungen multivariat normal verteilt
mit Erwartungswert θ ∈ R d und bekannter Kovarianzmatrix Σ. Der empirische Mittelwert ¯X
ist nach Brown (1986, Kapitel 1) eine suffiziente Statistik für θ. Da ¯X ∼ N (θ, n −1 Σ) gilt, ist
es somit ausreichend, den Fall mit Stichprobenumfang 1 zu behandeln. Sei also x Beobachtung
von X ∼ N (θ, Σ), dann gilt
P Θ (x) := sup
θ∈Θ
(2π) −d/2 (det Σ) −1/2 e − 1 2 (x−θ)T Σ −1 (x−θ)
= (2π) −d/2 (det Σ) −1/2 e −K Θ(x)/2 ,
wobei K Θ (x) = inf θ∈Θ (x − θ) T Σ −1 (x − θ). Deshalb erhält man folgende vereinfachte Darstellung
für den Likelihood-Quotienten
−2 log λ(x) = −2 log P Θ 0
(x)
P Θ (x)
= K Θ0 (x) − K Θ (x).