Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

68 Kapitel 7: Asymptotische Fallzahlplanung beim LQ-Test
gilt. Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten unter der Alternative θ (0) ∈ Θ 1
ist nach Theorem 6.7 gegeben durch
( )
√ 1 n
n log λ D
n + µ(c) −→ N (0, τ 2 (c)),
mit
und
τ 2 (c) =
k∑
i=1
c i Var θ
(0)
i
µ(c) = K(θ (0) , θ ∗ , c)
[
]
log f(X i1 , θ (0)
i
) − log f(X i1 , θi ∗ ) .
Sei u α das α-Quantil der Standard-Normalverteilung. Für die Bedingung (7.1) gilt
P θ (0) (log λ n ≤ c α ) ≥ 1 − β
( ( √n τ(c)
−1 1
n log λ n + µ(c))
⇔ P θ (0)
≤ √ ( ))
1
n τ(c) −1 n c α + µ(c) ≥ 1 − β,
was wiederum asymptotisch äquivalent zu
√ n τ(c)
−1
( 1
n c α + µ(c))
≥ u 1−β
⇔
√ n µ(c)
τ(c) +
c α
√ n τ(c)
≥ u 1−β
ist. Ist die Fallzahlaufteilung c gegeben, ist folglich die benötigte minimale Gesamtfallzahl
gegeben durch
{
N ∗ = min n ∈ N : √ n µ(c)
}
τ(c) + c
√ α
≥ u 1−β .
n τ(c)
Ist hingegen die Fallzahlaufteilung c nicht festgelegt, so ist zur Reduzierung der benötigten
Gesamtfallzahl zunächst die optimale asymptotische Fallzahlaufteilung zu berechnen. Eine
optimale Fallzahlaufteilung ist gegeben, wenn keine andere Aufteilung der Fallzahlen eine
bessere Power bei gleicher Gesamtfallzahl aufweist. Folglich ist
√ n
µ(c)
τ(c) +
c α
√ n τ(c)
in c zu maximieren. Da für großes n der Term µ(c)/τ(c) dominiert, ist die asymptotisch
optimale Fallzahl gegeben durch
{
}
c ∗ µ(c)
k∑
= arg sup
τ(c) : c ∈ [0, 1]k mit c i = 1 .
Die minimal benötigte Gesamtfallzahl ist dann gegeben durch
{
N ∗ = min n ∈ N : √ n µ(c∗ )
τ(c ∗ ) +
i=1
c α
√ n τ(c ∗ ) ≥ u 1−β
}
.