Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

4.3. Eingeschränkter ML-Schätzer 37
für einen beliebigen Vektor x ∈ R d und eine beliebige Matrix B ∈ R d×d schließt man
k∑
i=1
n i
n ˆθ T i, nB (i)
n i
ˆθi, n ≤ −
≤
−
k∑
i=1
k∑
i=1
n i
n ˆθ T i, nD i ˆθi, n +
k∑
i=1
n i
n ˆθ
√ k∑
i, T nD i ˆθi, n + d n d
√
d
n i
n ‖ ˆθ i, n ‖ 2 ·
i=1
‖ ˆθ i, n ‖ 2 .
d∑
l,m=1
‖ [B (i)
n i
] lm + [D i ] lm ‖
Somit erhält man zusammen mit Wahrscheinlichkeit größer als 1 − ɛ, dass
0 ≤
≤
k∑
i=1
+
k∑
i=1
n i
n (A(i) n i
− µ i ) ˆθ i, n + 1 2
k∑
o p (‖ ˆθ i, n ‖ 2 ) +
i=1
n i
n
K
√
ni
‖ ˆθ i, n ‖ − 1 2
k∑
i=1
n i
n ˆθ T i, nB (i)
n i
ˆθi, n +
k∑
o p (‖ ˆθ i, n ‖ / √ n)
i=1
k∑
i=1
k∑
+ d n ‖ ˆθ
k∑
i, n ‖ 2 + d n
= − 1 2
i=1
k∑
i=1
i=1
k∑
‖ ˆθ i, n ‖ 3 O p (1)
i=1
n i
n ˆθ i, T nD i ˆθi, n + 1 2 d √ k∑
n d ‖ ˆθ i, n ‖ 2 +
i=1
‖ ˆθ i, n ‖
√ n
n i
n ˆθ i, T nD i ˆθi, n + 1 2 d √ k∑
n d ‖ ˆθ i, n ‖ 2 +K
i=1
k∑
+ d n ‖ ˆθ
k∑
i, n ‖ 2 + d n
≤ − 1 2
i=1
k∑
i=1
i=1
‖ ˆθ i, n ‖
√ n
n i
n ˆθ i, T nD i ˆθi, n + 1 2 d √ k∑
n d ‖ ˆθ i, n ‖ 2 +K
i=1
k∑
+ d n ‖ ˆθ
k∑
i, n ‖ 2 + d n
≤ − 1 2
i=1
k∑
i=1
i=1
n i
n ˆθ T i, nD i ˆθi, n + K 2
‖ ˆθ i, n ‖
√ n
(
k∑
i=1
(
k∑
i=1
‖ ˆθ i, n ‖ 3 + n i
n
k∑
‖ ˆθ i, n ‖ 3 K
i=1
‖ ˆθ
)
i, n ‖
√
ni
(
k∑
d n ‖ ˆθ i, n ‖ 2 + ‖ ˆθ
)
i, n ‖
√
ni
i=1
d n ‖ ˆθ i, n ‖ 2 + ‖ ˆθ i, n ‖
√
ni
‖
+ d ˆθ
)
i, n ‖
n √ n
mit K 2 = K + √ d + 1. Da für alle i = 1, . . . , k der Quotient n i /n gegen eine positive Zahl
größer null konvergiert, lässt sich ein b > 0 finden, dass n i /n für alle i = 1, . . . , k stets größer
als b ist und man erhält
1
2 b ˆθ n T D ˆθ
k∑
n ≤ K 2
i=1
(
d n ‖ ˆθ i, n ‖ 2 + ‖ ˆθ i, n ‖
√
ni
+ d n
‖ ˆθ i, n ‖
√ n
)
.