Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.2. Asymptotik im k-Stichprobenfall 61
Korollar 6.12. Unter den Voraussetzungen von Theorem 6.10 gilt
und folglich insbesondere auch
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = O p (1)
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n).
Beweis. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, dass θ ∗ = 0 ist. Dieses
kann durch Umparametrisierung mit θ ↦→ θ − θ ∗ erreicht werden. Die Taylorentwicklung
zweiter Ordnung um null liefert
l n (ˆθ r i, n) − l n (0) =
k∑
i=1
n i A (i)
n i
ˆθr i, n +
Mit Voraussetzung (i) und (v) gilt
k∑
i=1
n i
n µ i ˆθ r i, n =
Somit erhält man zusammen
Mit √ n i (A (i)
n i
l n (ˆθ r i, n) − l n (0) =
+
=
k∑
i=1
k∑
i=1
k∑
c i µ i ˆθr i, n +
i=1
n i
2 ˆθ r i, nB (i)
n i
ˆθr i, n +
k∑
n ‖ ˆθ i, r n ‖ 3 O p (1).
i=1
k∑
o(1/ √ n)µ i ˆθr i, n
i=1
k∑
o p (‖ ˆθ i, r n ‖ 2 ) +
i=1
k∑
n ‖ ˆθ i, r n ‖ 3 O p (1) +
i=1
n i (A (i)
n i
− µ i )ˆθ r i, n +
k∑
i=1
k∑
o p (‖ ˆθ i, r n ‖ / √ n).
i=1
k∑
n o p (‖ ˆθ i, r n ‖ 2 ) +
i=1
=: I + II + III + IV + V.
− µ i ) = O p (1), B (i)
n i
n i
2 ˆθ r i, nB (i)
n i
ˆθr i, n
k∑ √ n op (‖ ˆθ i, r n ‖)
i=1
= −D i + o p (1) und ˆθ r i, n = O p(n − 1 2 ) gilt
I =
II =
III =
IV =
V =
k∑
i=1
k∑
i=1
√
ni
√
ni (A (i)
n i
− µ i )ˆθ r i, n =
n i
2 ˆθ r i, nB (i)
n i
ˆθr i, n =
k∑
i=1
k∑
n ‖ ˆθ i, r n ‖ 3 O p (1) =
i=1
k∑
n o p (‖ ˆθ i, r n ‖ 2 ) =
i=1
k∑ √ √ n ( ci + o(1)) O p (1)O p (n − 1 2 ) = Op (1),
i=1
n c i + o(1)
2
O p (n − 1 2 )(−Di + o p (1))O p (n − 1 2 ) = Op (1),
k∑
n O p (n − 3 2 )Op (1) = O p (n − 1 2 ) = Op (1),
i=1
k∑
n o p (n −1 ) = o p (1) = O p (1),
i=1
k∑ √ n op (‖ ˆθ i, r n ‖) = √ n o p (n − 1 2 ) = op (1) = O p (1).
i=1