Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

42 Kapitel 5: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Hypothese
Menge approximiert werden können. Die Definition 2.4 zur gegenseitigen Approximation von
zwei Mengen wie auch die Definition einer positiv homogenen Menge sind in Abschnitt 2.4
gegeben.
Das folgende Theorem 5.1 stellt eine Verallgemeinerung des Resultates von Chernoff (1954)
auf den k-Stichprobenfall mit ungleichen Fallzahlen dar. Gezeigt wird, dass die asymptotische
Verteilung des Likelihood-Quotienten unter k Stichproben, die die Regularitätsbedingungen
R und die Bedingung F für die asymptotische Fallzahlenverhältnisse erfüllen, gleich der Verteilung
des Likelihood-Quotienten unter einer Beobachtung einer normalverteilten Zufallsvariablen
mit geeignetem Erwartungswert und geeigneter Varianz ist, wenn Hypothese Θ 0 und
Parameterraum Θ durch positiv homogene Mengen approximiert werden können, wenn der
wahre Wert θ (0) des Parameters θ auf dem Rand der Hypothese liegt und wenn der auf die
Hypothese eingeschränkte ML-Schätzer in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Wert konvergiert.
Kurz gefasst, bedeutet das, dass man sich bei asymptotischen Untersuchungen des
Likelihood-Quotienten auf eine normalverteilte Zufallsvariable Z und die approximierenden
Mengen der Hypothese und des Parameterraums zurückziehen kann, wobei Z den Erwartungswert
θ (0) hat und die Kovarianzmatrix von Z die Inverse der Diagonalmatrix mit gewichteten
Fisher-Informationsmatrizen der einzelnen Stichproben auf der Diagonalen ist. Wie bereits
erwähnt, wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit θ (0) = 0 vorausgesetzt. Die im Abschnitt
4.2 eingeführten Notationen für A (i)
n i
, B n (i)
i
, A n ,B n , J und C werden übernommen.
Theorem 5.1. Der k-Stichprobenfall sei gegeben und folgende Bedingungen erfüllt:
(i) Die Dichten f i erfüllen die Regularitätsbedingungen R für i = 1, . . . , k.
(ii) Die Bedingung F ist erfüllt, d.h. n i
n → c i für n → ∞ mit 0 < c i < 1, i = 1, . . . , k.
(iii) Es gilt ˆθ Θ 0
n
P
−→ 0.
(iv) Die Mengen Θ und Θ 0 können durch die nicht leeren und positiv homogenen Mengen
M bzw. M 0 approximiert werden.
Dann ist die asymptotische Verteilung von −2 log λ n gegeben durch die Verteilung von
inf (Z − θ) T CJ (Z − θ) − inf (Z −
θ∈M 0 θ∈M θ)T CJ (Z − θ)
mit Z ∼ N (0, (CJ) −1 ) und (CJ) −1 = diag ( 1 c 1
J −1
1 , . . . , 1
c k
J −1
k
Bemerkung 5.2. Beispiel 2.2 zeigt, dass die Verteilung von
) ist.
inf (Z − θ) T CJ (Z − θ) − inf (Z −
θ∈M 0 θ∈M θ)T CJ (Z − θ)
mit Z ∼ N (0, (CJ) −1 ) gerade die Verteilung von minus zweimal dem Logarithmus des
Likelihood-Quotientens für den Test von θ ∈ M 0 gegen θ ∈ M\M 0 basierend auf einer Beobachtung
einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix
(CJ) −1 ist.