Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

3.3 Power- und Fallzahlberechnungen 25
∆
µ T /σ
Abbildung 3.2: Benötigte Fallzahl für die Teststatistik T r unter der Alternative δ mr = 1 und
einer Power von 80%.
Abbildung 3.2 zeigt die benötigte Fallzahl für die Teststatistik T r unter der Alternative
δ mr = 1, d.h. µ T = µ R , für eine Power von 80% in Abhängigkeit der Nicht-Unterlegenheitsmarge
∆ und des Kehrwertes des Variationskoeffizienten µ T /σ. Abbildung 3.2 stellt heraus,
dass bei fallenden µ T die benötigten Fallzahlen steigen. Es besteht also eine Abhängigkeit
der benötigten Fallzahlen von der Lokation der Daten. Diese Beobachtung steht in Übereinstimmung
mit dem Problem der Invarianz bezüglich Shifts in den Daten beim Testen des
Quotienten δ mr . In Abbildung 3.3 ist µ T /σ = 10 festgehalten und die benötigte Fallzahl in
Abhängigkeit von der Nicht-Unterlegenheitsmarge abgetragen.
Testen der standardisierten Differenz δ std
Unter Verwendung der standardisierten Differenz als Abstandsmaß lässt sich die Power für
gegebenen Wert von δ std (< ∆) berechnen nach
1 − β = P δstd (T s < (t nR +n T −2,ncp s (∆)) α )
= F nR +n T −2,ncp s
((t nR +n T −2,ncp s(∆)) α ) ,
wobei ncp s (∆) der Nichtzentralitätsparameter aus (3.4) ist, mit δ std = ∆. Wie bei der Differenz
δ md erhält man mit gleichen Argumenten, dass die Stichproben für δ std vom gleichen
Umfang (ɛ = 1) sein müssen, um die Power zu maximieren.
3.3.1 Rechenprobleme und Approximationen für große Stichproben
Wenn kein statistisches Softwarepaket für die Berechnung der nicht-zentralen t-Verteilung
zur Verfügung steht, kann die folgende Approximation des α-Quantils der nicht-zentralen
t-Verteilung benutzt werden (Johnson und Welch, 1940, p. 207). Zudem ergeben sich aus
den folgenden Überlegungen einfache asymptotische Formeln für die Powerberechnung, welche,
wie sich herausstellen wird, zu befriedigenden und zweckmäßigen Lösungen führen. Für