Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

64 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative
mit jeweils 10000 Wiederholungen simuliert. Die so gewonnenen empirischen Verteilungen
werden mit Hilfe eines QQ-Plots mit der asymptotischen Verteilung verglichen. Die Abbildungen
6.1 und 6.2 zeigen QQ-Plots für die drei Stichprobenumfänge von n = 50, 100, 200
und für ∆ = 0.1 bzw. für ∆ = 0.5.
n=50
n=100
n=200
Sample Quantiles
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
Sample Quantiles
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
Sample Quantiles
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
−4 −2 0 2 4
−4 −2 0 2 4
−4 −2 0 2 4
Theoretical Quantiles
Theoretical Quantiles
Theoretical Quantiles
Abbildung 6.1: P-Plots für ∆ = 0.1
In einem QQ-Plot werden die empirischen Quantile gegen die einer Standardnormalverteilten
abgetragen. Liegen die Punkte auf einer Geraden, stammen die simulierten Werte aus
einer Normalverteilung mit Erwartungswert gleich dem y-Achsenabschnitt der Geraden und
Standardabweichung gleich der Steigung. Für den Vergleich der empirischen Verteilung mit
der asymptotischen Verteilung ist somit die Ursprungsgerade mit Steigung τ in die QQ-Plots
einzufügen. Liegen die Punkte auf dieser Geraden stimmen die Verteilungen überein. Weiter
ist die Gerade mit y-Aschenabschnitt √ nµ und Steigung null eingefügt.
n=50
n=100
n=200
Sample Quantiles
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
Sample Quantiles
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
Sample Quantiles
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
−4 −2 0 2 4
Theoretical Quantiles
−4 −2 0 2 4
Theoretical Quantiles
−4 −2 0 2 4
Theoretical Quantiles
Abbildung 6.2: P-Plots für ∆ = 0.5
Die Abbildungen 6.1 und 6.2 zeigen, dass die empirischen Verteilungen der Verteilung von
min(Z, √ nµ) mit Z ∼ N (0, τ 2 ) folgen. Die Punktmasse bei √ nµ entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit,
dass der unrestringierte ML-Schätzer in der Hypothese Θ 0 liegt. Dieses folgt
aus der Tatsache, dass der Likelihood-Quotient stets kleiner als eins ist und genau dann eins