Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

2.4. Approximation zweier Mengen 15
Dieses liefert
inf ‖ x n − θ ‖ 2 = inf ‖ x n − θ CM (x n ) + θ CM (x n ) − θ ‖ 2
θ∈M θ∈M
[
≤ ‖ xn − θ CM (x n ) ‖ 2 + 2 ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ ‖ θ CM (x n ) − θ ‖ + ‖ θ CM (x n ) − θ ‖ 2]
inf
θ∈M
= ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ 2 + 2 ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ inf
θ∈M ‖ θ C M
(x n ) − θ ‖ + inf
θ∈M ‖ θ C M
(x n ) − θ ‖ 2
= ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ 2 + 2 ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ o(‖ θ CM (x n ) ‖) + o(‖ θ CM (x n ) ‖ 2 )
= inf
θ∈C M
‖ x n − θ ‖ 2 + 2 ‖ x n − θ CM (x n ) ‖ o(‖ θ CM (x n ) ‖) + o(‖ θ CM (x n ) ‖ 2 ).
Die vorletzte Gleichheit folgt durch Anwendung der Definition 2.4 für die gegenseitige Approximation
zweier Mengen, die letzte Gleichheit folgt nach Definition (2.5) von θ CM (x n ).
Beachte für die vorletzte Gleichheit, dass θ CM (x n ) ∈ C M und θ CM (x n ) → 0 für x n → 0 gilt.
Mit den Gleichungen (2.7),(2.8) und (2.9) erhält man
inf ‖ x n − θ ‖ 2 ≤ inf ‖ x n − θ ‖ 2 + 2 ‖ x n ‖ o(‖ x n ‖) + o(‖ x n ‖ 2 )
θ∈M θ∈C M
= inf
θ∈C M
‖ x n − θ ‖ 2 +o(‖ x n ‖ 2 ).
Analog erhält man mit vertauschten Rollen von M und C M
inf ‖ x n − θ ‖ 2 ≤ inf ‖ x n − θ ‖ 2 + o(‖ x n ‖ 2 ).
θ∈C M θ∈M
Zusammen liefert dieses die Behauptung
inf ‖ x n − θ ‖ 2 = inf ‖ x n − θ ‖ 2 + o(‖ x n ‖ 2 ).
θ∈M θ∈C M