Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

44 Kapitel 5: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Hypothese
Mit B n = −J + o p (1) (Lemma 4.4 (ii)) gilt
à T nJ −1 B n η(θ) = −Ãnη(θ) + ÃnJ −1 o p (1)η(θ)
Analog erhält man mit gleichen Argumenten
Weiter gilt analog mit n i /n = c i + o(1)
η(θ) ˜B n η(θ) =
= −Ãnη(θ) + O p ( √ n)o p (1)O p (1/ √ n)
= −Ãnη(θ) + o p (1).
à T nJ −1 B n J −1 A n = −ÃT nJ −1 A n + o p (1).
k∑
i=1
= −n
= −n
= −n
η(θ) T i n i B (i)
n i
k∑
η(θ) T i
i=1
k∑
η(θ) T i
i=1
η(θ) i = n
k∑
η(θ) T i
i=1
n i
n J i η(θ) i + n
n i
n B(i) n i
η(θ) i
k∑
η(θ) T i o p (1) η(θ) i
i=1
n j
n J i η(θ) i + n O p (1/ √ n)o p (1)O p (1/ √ n)
k∑
η(θ) T i c i J i η(θ) i + n η(θ) T o(1) η(θ) + o p (1)
i=1
= −n η(θ) T CJη(θ) + o p (1).
Einsetzen in (5.2) liefert
l n (θ) = l n (0) + 1 2ÃT nJ −1 A n − n 2 η(θ)T CJη(θ) + o p (1). (5.3)
Weiter gilt für eine beliebige Menge M ∈ R kd
sup
θ∈M
(
l n (0) + 2ÃT 1 nJ −1 A n − n )
2 η(θ)T CJη(θ) + o p (1)
= l n (0) + 1 2ÃT nJ −1 A n + sup
θ∈M
(
− n )
2 η(θ)T CJη(θ) + o p (1).
Somit kann mit (5.3) der log-Likelihood als
[
]
−2 log λ n (x) = 2 sup l n (θ) − sup l n (θ)
θ∈Θ θ∈Θ 0
[ (
= 2 sup − n )
2 η(θ)T CJη(θ)
geschrieben werden.
[
= n
θ∈Θ
[
]
= 2 l n (ˆθ n ) − l n (ˆθ Θ 0
n )
inf η(θ) T CJη(θ) − inf
θ∈Θ 0 θ∈Θ η(θ)T CJη(θ)
(
− sup − n CJη(θ)) ]
θ∈Θ 0
2 η(θ)T + o p (1)
]
+ o p (1)