Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

3.2 LQ-Test und t-Statistiken 19
Auf dem Rand der Hypothese (δ md = ∆) folgt die Teststatistik T d einer zentralen t-Verteilung
mit n R + n T − 2 Freiheitsgraden. Die Hypothese H 0 : δ md ≥ ∆ in (3.1) wird zum Niveau α
für
T d < (t nR +n T −2) α
verworfen, wobei (t m ) α das α-Quantil einer zentral t-verteilten Zufallsvariable mit m Freiheitsgraden
ist. Der vorliegende Test ist äquivalent zum Likelihood-Quotienten-Test, da für
¯x R −¯x T < ∆ die Likelihood-Quotienten-Statistik für δ md eine strikt monotone Transformation
von T d ist,
λ n = sup ϑ∈Θ 0
L n (ϑ)
sup ϑ∈Θ L n (ϑ)
=
=
[
1 + n Rn T (x R − x T − ∆) 2
n R + n T
[
1 +
T 2 d
n R + n T − 2
(n R + n T − 2)s 2 p
] −
n R +n T
2
.
] −
n R +n T
2
Testen des Quotienten δ mr
Verwendet man für µ T ≠ 0 den Quotienten δ mr als Abstandsmaß, kann gezeigt werden, dass
der Likelihood-Quotienten-Test ebenfalls äquivalent zum t-Test ist. Die Teststatistik
T r =
x R − ∆x
√ T
∼ t nR +n T −2,ncp r
,
1
s p n R
+ ∆2
n T
ist nicht-zentral t-verteilt mit n R + n T − 2 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter
ncp r =
µ R − ∆µ
√ T
= δ mr − ∆
√ . (3.3)
1
σ
n R
+ ∆2 σ 1
n T µ T n R
+ ∆2
n T
Für δ mr = ∆ vereinfacht sich die Verteilung zur zentralen t-Verteilung. Somit wird die Hypothese
H 0 : δ mr ≥ ∆ zum Niveau α für
verworfen.
T r < (t nR +n T −2) α
Die Teststatistik T d ist bezüglich Shifts invariant ist, d.h. wenn auf die Daten der Stichproben
eine Konstante addiert wird, bleibt die Testentscheidung invariant. Weiter ist die
Teststatistik bezüglich Reskalierung ebenfalls invariant, vorausgesetzt, das Testproblem ist
entsprechend reskaliert. Das bedeutet, dass die Testentscheidung invariant bleibt, wenn die
Beobachtungen statt in x in Einheiten c · x gemessen werden und die Hypothese mit Nicht-
Unterlegenheitsmarge c · ∆ umgeschrieben wird. Ein entscheidender Aspekt, der gegen die
Verwendung von T r als Teststatistik spricht, besteht darin, dass bei T r Veränderungen in der
Lokation, also Shifts der Daten, zu unterschiedlichen Testergebnissen führen können. Wenn
µ T nahe null ist, treten außerdem numerische Instabilitäten auf, d.h. kleine Messfehler von
¯X T beeinflussen das Testergebnis stark.