Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

Anhang A
Verwendete Sätze
Theorem A.1 (Gesetz der großen Zahlen). X 1 , X 2 , . . . seien unabhängig, identisch verteilte
Zufallsvariablen und X n = n −1 ∑ n
i=1 X i.
(i) (Schwaches Gesetz) Für E|X 1 | < ∞ gilt X n
P
−→ µ = EX 1 .
(ii) (Starkes Gesetz) X n
a.s.
−→ µ ⇔ E|X 1 | < ∞ und µ = EX 1
Beweis. Siehe Ferguson (1996, Kapitel 4, Satz 4).
Theorem A.2 (Zentraler Grenzwertsatz). X 1 , X 2 , . . . seien unabhängig, identisch verteilte
Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und endlicher Kovarianzmatrix Σ. Dann gilt für
X n = n −1 ∑ n
i=1 X i
√ n (Xn − µ)
Beweis. Siehe Ferguson (1996, Kapitel 5, Satz 5).
D −→ N (0, Σ).
Theorem A.3 (Slutsky’s Theorem). X n und Y n seien Folgen von Zufallsvariablen. C(f)
bezeichne die Menge der Stetigkeitsstellen von der Funktion f.
(i) Wenn X n ∈ R d , X n
(ii) Wenn X n
D −→ X und f : R d → R k mit P (X ∈ C(f)) gilt, dann gilt
f(X n )
D −→ f(X).
D
P
−→ X und (Xn − Y n ) −→ 0 gilt, dann gilt
(iii) Wenn X n ∈ R d , Y n ∈ R k , X n
(iv) Wenn X n ∈ R d , X n
Y n
D −→ X.
D
D
−→ X und Yn −→ c gilt, dann gilt
(X n , Y n ) D −→ (X, c).
P
−→ X und f : R d → R k mit P (X ∈ C(f)) gilt, dann gilt
f(X n )
73
P
−→ f(X).