Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

22 Kapitel 3: Nicht-Unterlegenheitstests im 2-Stichprobenfall unter Normalverteilung
Gesamtfallzahl N
200 400 600 800
Power: 70%
Power: 80%
Power: 90%
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
∆ σ
Abbildung 3.1: Benötigte Fallzahlen für die Teststatistik T d unter der Alternative δ md = 0.
Dann gelten die folgenden Eigenschaften
S + (g) ≤ S − (h) und (3.8)
S + (g) = S − (h) impliziert IS + (g) = IS − (h), (3.9)
wobei S − (S + ) die Anzahl (strikter) Vorzeichenwechsel und IS − (IS + ) das initiale Vorzeichen
der jeweiligen Funktion ist. Für detaillierte Informationen siehe Brown u. a. (1981), insbesondere
zur Definition der Vorzeichenwechsel und initialen Vorzeichen.
Karlin (1968, Kapitel 3 §4) zeigt, dass die Dichte einer nicht-zentralen t-Verteilung f m (ncp, x)
strikt total positiv der Ordnung unendlich ist, was äquivalent zur variationsreduzierenden
Eigenschaft ist. Demzufolge ist f m (ncp, x) in der Klasse SV R ∞ . Gesetzt wird
für beliebige z, c ∈ R. Dann gilt
h(x) = 1 (−∞,z] (x) − c
S − (h) ≤ 1 ∀ z, c ∈ R.
Weiter ist
∫
g(ncp) =
f m (ncp, x) ( 1 (−∞,z] (x) − c ) dx = F m,z (ncp) − c.
Mit der variationsreduzierenden Eigenschaft (3.8) folgt
S + (F m,z (ncp) − c) ≤ 1 ∀ c ∈ R (3.10)