Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

3.3 Power- und Fallzahlberechnungen 27
Analog lässt sich für die Teststatistik T r eine Approximation der minimalen Fallzahl, die eine
Power von 1 − β erreicht, mit optimaler Fallzahlaufteilung ɛ = ∆ −1 herleiten. Sie ist gegeben
durch
(
) 2
u α − u 1−β
√1 + ∆2 r
n ≥ (1 + ∆) 2 2(1+∆) 2 ,
wobei ∆ r = µ T (δ mr − ∆)/σ.
Für T s erhält man auf gleiche Art
n ≥
∆ 2 r
√
√ ) 2
4
(u α 1 + δ2 std
8
− u 1−β 1 + ∆2
8
(δ std − ∆) 2 ,
wobei die optimale Fallzahlaufteilung von ɛ = 1 verwendet wurde.
Wahre Power
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
0 200 400 600 800 1000
Benötigte Gesamtfallzahl
Abbildung 3.4: Wahre und approximative Power aus (3.12)
Um die Genauigkeit der Approximation zu untersuchen, wird folgendes Szenario angenommen:
T d Teststatistik, δ md = 0, Signifikanzniveau 5% und eine erwünschte Power von 80%. Für
unterschiedliche benötigte Fallzahlen, d.h. berechnet nach der Approximationsformel (3.12),
wird die wahre Power exakt durch die nicht-zentrale t-Verteilung in (3.7) berechnet. Die
Ergebnisse sind in Abbildung 3.4 dargestellt. Zum Vergleich ist die Linie für die erwünschte
Power von 80% eingezeichnet. Die Abbildung zeigt, dass die Approximationsformel stets zu
einer größeren Power als die nominelle von 80% führt. Für Fallzahlen größer als 400 ist die
Approximation recht zufrieden stellend. Demnach ist die Approximation stets konservativ, in
dem Sinne, dass die wahre Power niemals kleiner als die erwünschte Power ist.