Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

62 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative
Bemerkung 6.13. Theorem 6.10 umfasst bis auf Bedingung B4 auch die Voraussetzungen
von Theorem 6.7. Somit stellen diese zusammen Bedingungen dar, unter denen die asymptotische
Normalität der Likelihood-Quotienten-Statistik gilt.
6.3 Beispiel
Beispiel 6.14. Betrachtet werden zwei normalverteilte Stichproben X 11 , . . . , X 1n1 ∼ N (θ 1 , σ 2 )
und X 21 , . . . , X 2n2 ∼ N (θ 2 , σ 2 ) mit bekannter Varianz σ 2 . Für n = n 1 + n 2 wird
vorausgesetzt. Der Hypothesenraum sei
n 1
n = c 1 + o(n −1 )
Θ 0 = { θ = (θ 1 , θ 2 ) ∈ R 2 : θ 1 − θ 2 ≥ ∆ }
mit ∆ > 0. Es soll die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten unter der Alternative
θ (0) = (0, 0) hergeleitet werden.
Die Voraussetzungen von Theorem 6.7 und 6.10 sollen hier nicht im einzelnen diskutiert werden,
da die Anwendung der Resultate im Vordergrund stehen sollen. Die vorliegende Normalverteilung
gehört einer exponentiellen Familie an. Die meisten Voraussetzungen folgen dann
aus den Eigenschaften einer exponentiellen Familie (siehe hierzu zum Beispiel Brown u. a.
(1981)). Die Voraussetzungen (v) und (vi) von Theorem 6.10 sind hingegen nicht ersichtlich
und werden kurz diskutiert. Für i = 1, 2 erhält man
E θ
(0)
i
[
d 2 /dθ 2 i log f i (X i1 , θ i ) ] = − 1 σ 2
unabhängig von θ i . Folglich ist Bedingung (vi) erfüllt. Der restringierte ML-Schätzer liegt
asymptotisch fast sicher auf dem Rand der Hypothese Θ 0 . Mit Hilfe des Satzes von der
majorisierten Konvergenz kann Integration und Differentiation so vertauscht werden [siehe
hierzu Ferguson (1996, S.124)], dass
E θ
(0)
i
[d/dθ i log f i (X i1 , θ i )] = d/dθ i E θ
(0)
i
[log f i (X i1 , θ i )]
gilt. Folglich ist Bedingung (v) erfüllt, wenn die Richtungsableitung des Kullback-Leibler
Abstands in Richtung des Randes der Hypothese Θ 0 im Punkt θ ∗ null ist. Nachstehende
Rechnungen zur Bestimmung von θ ∗ werden dieses zeigen.
Um Theorem 6.7 anwenden zu können, wird zunächst der Punkt in der Hypothese bestimmt,
der den gewichteten Kullback-Leibler Abstand mit Gewichten (c 1 , 1 − c 1 ) zu θ (0) = (0, 0)
minimiert. Hierfür bezeichne f(x, µ, σ 2 ) die Dichte der Normalverteilung mit Erwartungswert
µ und Standardabweichung σ. Es gilt für i = 1, 2 und X i ∼ N (θ i , σ 2 )
K(0, θ i ) = E [ log f(X i , 0, σ 2 ) − log f(X i , θ i , σ 2 ) ]
= 1
2σ 2 E [ (X i − θ i ) 2 − X 2 i
= 1
2σ 2 (
σ 2 + θ 2 i − σ 2) = θ2 i
2σ 2 .
]