Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

60 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative
Die Bedingung: l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n ) = o p( √ n)
Es bleibt die Bedingung (6.7) aus Theorem 6.7 (bzw. Bedingung (6.2) aus Theorem 6.2)
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n)
zu diskutieren. In Korollar 6.12 werden Voraussetzungen aufgeführt unter denen diese Bedingung
erfüllt ist.
Theorem 6.10 liefert die Konvergenz mit Rate √ n des restringierten ML-Schätzers ˆθ r n gegen
den Minimierer des Kullback-Leibler Abstandes θ ∗ .
Theorem 6.10. Der k-Stichprobenfall sei mit den Regularitätsbedingungen R gegeben. Weiter
seien die nachstehenden Bedingungen erfüllt:
(i) Die Bedingung F ist erfüllt mit n i
n = c i + o(1/ √ n).
(ii) Die Bedingungen B3 und B5 sind erfüllt.
(iii) Das Minimum min θ∈Θ K(θ (0) , θ, c) sei eindeutig bei θ ∗ bestimmt.
(iv) Es existiert eine Funktion K(x) mit E θ (0)K(X) < ∞, so dass die Norm von d/dθ W (x, θ)
gleichmäßig in einer Umgebung von θ ∗ durch K(x) beschränkt ist.
[ ] 2
(v) Für i = 1, . . . , k existiert E (0) d/dθi θ
log f i (X i1 , θ i )| θi =θi
∗ und für
i
[ ] T
µ i := E (0) d/dθi θ
log f i (X i1 , θ i )| θi =θi
∗ gilt
i
k∑
c i µ i (ˆθ i, r n − θi ∗ ) =
i=1
(vi) Für i = 1, . . . , k existiert D i := −E (0) θ i
D := diag (D 1 , . . . , D k ) gilt
Dann gilt
für ein α > 0.
k∑
o p (‖ ˆθ i, r n − θi ∗ ‖ 2 ).
i=1
[
d 2 /dθ 2 i log f i (X i1 , θ i )| θi =θ ∗ i
(ˆθ r i, n − θ ∗ i ) T D (ˆθ r i, n − θ ∗ i ) ≥ α ‖ ˆθ r i, n − θ ∗ i ‖ 2
√ n
(ˆθr n − θ ∗) = O p (1).
]
und für
Beweis. Die Voraussetzungen von Theorem 6.8 sind erfüllt und man erhält
ˆθ r n
a.s.
−→ θ ∗ .
Folglich sind auch die Voraussetzungen von Theorem 4.6 erfüllt und die Aussage folgt.
Bemerkung 6.11. Die Bedingung
( k∑
)
P θ (0) c i µ i (ˆθ i, r n − θi ∗ ) = 0 ∀n ≥ N
i=1
N→∞
−→ 1
impliziert (iii) von Theorem 6.10.