Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

3.3 Power- und Fallzahlberechnungen 23
für beliebiges z ∈ R. Somit gilt für beliebiges c, dass die Funktion F m,z (ncp) − c für festes z
höchstens einen Vorzeichenwechsel hat, was die strikte Monotonie von F m,z (ncp) in ncp nach
sich zieht.
Zur Vereinfachung wird F (ncp) statt F m,z (ncp) geschrieben. Es bleibt zu zeigen, dass F (ncp)
eine fallende Funktion ist. Gesetzt wird
k := F (ncp 1) + F (ncp 2 )
2
für beliebige ncp 1 , ncp 2 ∈ R mit ncp 1 ≠ ncp 2 . Nach Definition von k und der strikten Monotonie
von F (ncp) gilt:
oder
und somit zusammen mit (3.10)
F (ncp 1 ) < k < F (ncp 2 )
F (ncp 2 ) < k < F (ncp 1 )
S + (F (ncp) − k) = 1 .
Da F (ncp) ∈ ]0, 1[ für alle ncp ∈ R gilt, erhält man k ∈ ]0, 1[. Dieses liefert
S − (1 (−∞,z] (x) − k) = 1
IS − (1 (−∞,z] (x) − k) = + .
Somit schließt man mit der variationsreduzierenden Eigenschaft (3.9)
IS + (F (ncp) − k) = IS − (1 (−∞,z] (x) − k) = + .
Zusammenfassend ist F (ncp) − k eine strikt monotone Funktion, welche für ausreichend kleinen
ncp positiv ist und dann einen Vorzeichenwechsel hat. Somit muss F (ncp)−k und folglich
F (ncp) eine strikt monotone Funktion sein.
Im Folgenden wird ein direkter und intuitiverer Beweis des Lemmas 3.1 dargestellt.
Beweis vom Lemma 3.1 Version B. Sei t m,ncp eine t-verteilte Zufallsvariable mit m Freiheitsgraden
und Nichtzentralitätsparameter ncp. Dann lässt sich diese schreiben als
t m,ncp =
X ncp
√
Y/m
mit
X ncp ∼ N (µ ncp , 1) und Y ∼ χ 2 m,
wobei
µ ncp = C · ncp
mit C := E[ √ Y/m] ≥ 1 (Nach Jensenungleichung und E[Y ] = m gilt C ≥ 1).