Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.2. Asymptotik im k-Stichprobenfall 59
Zunächst wird gezeigt, dass der restringierte ML-Schätzer ˆθ n r asymptotisch in einer präkompakten,
d.h. beschränkten Teilmenge von Θ 0 liegt. Wenn Θ 0 nicht schon beschränkt ist, wird
hierfür
k∏
g(x 1 , . . . , x k , r) = sup f i (x i , θ i ) c i
und
˜g(x 1 , . . . , x k , r) =
θ∈Θ 0 : ‖θ‖≥r i=1
sup
k∏
θ∈Θ 0 : ‖θ‖≥r i=1
f i (x i , θ i ) n i
n ,
betrachtet. Aus Bedingung B5 folgt für θ n ∈ Θ 0 mit lim n→∞ ‖ θ n ‖= ∞ gilt
Wald (1949, Lemma 3) zeigt, dass
lim
n→∞
i=1
k∏
f i (x i , θ i, n ) c i
= 0 .
lim E
r→∞
θ (0) [log g(X 11, . . . , X k1 , r)] = −∞.
Folglich kann ein r 0 so gewählt werden, dass
[ k∑
]
E θ (0) [log g(X 11 , . . . , X k1 , r 0 )] < E θ (0) c i log f(X i1 , θ min ) .
i=1
Da n i /n → c i für n → ∞, kann ein n 0 so gewählt werden, dass für n ≥ n 0
[ k∑
]
n i
E θ (0) [log ˜g(X 11 , . . . , X k1 , r 0 )] < E θ (0)
n log f(X i1, θ min ) .
i=1
Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen (A.1) gilt
⎛ ⎛
⎞ ⎞
k∑
n
P ⎝ lim ⎝
n i 1 ∑ i
(log f i (X ij , θ r0 ) − log f i (X ij , θ min )) ⎠ < 0⎠ = 1.
n→∞ n
i=1
n i
j=1
Dieses impliziert
(
P
lim
n→∞
(
)
Q n (θ min ) − inf Q n (θ)
θ∈Θ 0 : ‖θ‖≥r 0
)
< 0 = 1.
Der Rest des Beweises verläuft analog zum Beweis des 1-Stichprobenfall, Theorem 6.4.
Korollar 6.9. Seien Bedingungen B3 und B5 erfüllt und das Minimum min θ∈Θ K(θ (0) , θ, c)
eindeutig bei θ min bestimmt. Sei θ ∗ ∈ Θ 0 wie in Theorem 6.2 mit l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n),
so gilt
θ ∗ = θ min = arg min
θ∈Θ 0
K(θ (0) , θ, c).
Beweis. Der Beweis aus dem 1-Stichprobenfall, Korollar 6.5, ist mit Q n und Q aus Theorem
6.8 direkt übertragbar.